Линейное гиперболическое уравнение и система

- дифференциальное уравнение (и система) с частными производными вида [img: http://localhost:8080/file/031316-60.jpg] у к-poro в любой точке х=(х 0, x1..., х n).области его задания [img: http://localhost:8080/file/031316-61.jpg] среди действительных переменных y0, y1..., yn можно выделить (в случае надобности - после надлежащего аффинного преобразования независимых переменных) одно переменное, напр. [img: http://localhost:8080/file/031316-62.jpg] таким образом, чтобы для всех точек [img: http://localhost:8080/file/031316-63.jpg] из п- мерного евклидова пространства [img: http://localhost:8080/file/031316-64.jpg] характеристическое уравнение (относительно [img: http://localhost:8080/file/031316-65.jpg]) [img: http://localhost:8080/file/031316-66.jpg] имело ровно Nm действительных корней. Здесь [img: http://localhost:8080/file/031316-67.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031316-68.jpg] - вектор с неотрицательными целочисленными координатами, [img: http://localhost:8080/file/031316-69.jpg] - порядок дифференциального оператора [img: http://localhost:8080/file/031316-70.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031316-71.jpg] - порядок системы (1), [img: http://localhost:8080/file/031316-72.jpg] - заданная в области [img: http://localhost:8080/file/031316-73.jpg] квадратная действительная матрица порядка [img: http://localhost:8080/file/031316-74.jpg] N - искомый вектор-столбец, f(х) - заданный в [img: http://localhost:8080/file/031316-75.jpg] вектор с Nкомпонентами. Типичным примером является волновое уравнение [img: http://localhost:8080/file/031316-76.jpg] К Л. г. у. и с. приводят многие задачи математич. физики. Поверхность [img: http://localhost:8080/file/031316-77.jpg] наз. характеристической в точке ж, если [img: http://localhost:8080/file/031316-78.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031316-79.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031316-80.jpg] - характеристич. форма системы (1). Если [img: http://localhost:8080/file/031316-81.jpg] то говорят, что вектор узадает в точке ххарактеристическое направление. Поверхность Sназ. характеристической поверхностью (или характеристикой) для системы (1), если [img: http://localhost:8080/file/031316-82.jpg] Поверхность, не имеющая характеристич. направления нормали ни в одной точке, наз. свободной поверхностью. На свободной поверхности ранг характеристической матрицы [img: http://localhost:8080/file/031316-83.jpg] равен N, в то время как на характеристич. поверхности Sон меньше N. Характеристика Sназ. простой, если для нек-рого j и для всех [img: http://localhost:8080/file/031316-84.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031316-85.jpg] В противном случае характеристику наз. кратной. Иногда характеристику наз. простой, если ранг матрицы [img: http://localhost:8080/file/031316-86.jpg] равен N-1. Система (1) наз. гиперболической в точке хотносительно гиперплоскости Sa: х 0=0, если матрица [img: http://localhost:8080/file/031316-87.jpg] невырожденная (т. е. поверхность Sсвободная) и все корни [img: http://localhost:8080/file/031316-88.jpg] k=1,..., mN, характеристич. уравнения [img: http://localhost:8080/file/031316-89.jpg] действительные для всех точек [img: http://localhost:8080/file/031316-90.jpg] Система (1) наз. гиперболической в области [img: http://localhost:8080/file/031316-91.jpg] относительно S0, если она гиперболична относительно S0 в каждой точке [img: http://localhost:8080/file/031316-92.jpg] Важным классом гиперболич. уравнений и систем являются строго гиперболич, уравнения и системы, к-рые иногда наз. вполне гиперболическими системами, или гиперболическими в узком смысле. Система (1) наз. строго гиперболической системой, когда все корни [img: http://localhost:8080/file/031316-93.jpg] характеристич. уравнения различны для любого ненулевого вектора [img: http://localhost:8080/file/031316-94.jpg] Характеристики строго гиперболич. уравнения (или системы) являются простыми. Строго гиперболические (относительно S0) системы примечательны тем, что для них корректно поставлена задача Коши [img: http://localhost:8080/file/031316-95.jpg] при одних только предположениях достаточной гладкости коэффициентов [img: http://localhost:8080/file/031316-96.jpg] системы (1) и начальных данных (начальных функций) [img: http://localhost:8080/file/031316-97.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031316-98.jpg] Существуют примеры гиперболических, но не строго гиперболич. уравнений вида (1) (даже с постоянными коэффициентами при производных порядка т), для к-рых задача Коши поставлена некорректно. Решение и(х).задачи Коши (4) для волнового уравнения (3) выписывается в явном виде, и оно в случае, когда [img: http://localhost:8080/file/031316-99.jpg] и только тогда, обладает свойством; значение и(х).в вершине х* характеристического конуса [img: http://localhost:8080/file/031316-100.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031316-101.jpg] зависит только от значения начальных данных [img: http://localhost:8080/file/031316-102.jpg] и их производных на основании [img: http://localhost:8080/file/031316-103.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031316-104.jpg] этого конуса (т. н. Гюйгенса принцип). Для строго гиперболических относительно S0 уравнений и систем исследован вопрос о диффузии волн и о лакунах. Исчерпывающий ответ дан в случае уравнения с постоянными коэффициентами вида [img: http://localhost:8080/file/031316-105.jpg] Для одного (скалярного) уравнения с постоянными коэффициентами [img: http://localhost:8080/file/031316-106.jpg] определение строгой гиперболичности обобщено следующим образом. Уравнение (1) наз. гиперболическим относительно ненулевого вектора [img: http://localhost:8080/file/031316-107.jpg] если [img: http://localhost:8080/file/031316-108.jpg] и существует такое действительное число [img: http://localhost:8080/file/031316-109.jpg] что для всех [img: http://localhost:8080/file/031316-110.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031316-111.jpg] Из всех линейных уравнений с постоянными коэффициентами только для уравнений, гиперболических в этом смысле, задача Коши поставлена корректно при произвольных достаточно гладких начальных функциях, заданных на гиперплоскости [img: http://localhost:8080/file/031316-112.jpg] В частности, волновое уравнение (3) является гиперболическим в указанном смысле относительно любого вектора, для к-рого [img: http://localhost:8080/file/031316-113.jpg] Существуют различные обобщения определения строго гиперболич. уравнений и систем. В основном это такие уравнения и системы, к-рые полностью характеризуются тем, что для них однозначно разрешима задача Коши с данными на свободной поверхности при любых достаточно гладких начальных функциях без всяких ограничений роста на бесконечности. Другим важным классом линейных гиперболич. систем 1-го порядка является класс симметрических гиперболич. систем. Система [img: http://localhost:8080/file/031316-114.jpg] где aj(x), b (х) - заданные в области W квадратные матрицы порядка N, а и(х) - искомый вектор из N компонент, наз. симметрической гиперболической системой в области W, если матрицы aj(x).симметрические (или симметризуемые одновременно одним и тем же преобразованием) и в каждой точке существует пространственно ориентированная гиперплоскость, т. е. гиперплоскость, нормаль к-рой y=(у 0,..., у п) обладает тем свойством, что матрица [img: http://localhost:8080/file/031316-115.jpg] положительно определена. Если для симметрической гиперболич. системы (5) с достаточно гладкими коэффициентами заданные начальные функции и правая часть имеют интегрируемые с квадратом обобщенные частные производные порядка р, то существует единственное обобщенное решение задачи Коши с тем же числом интегрируемых с квадратом частных производных. К симметрическим гиперболич. системам сводится любое строго гиперболич. уравнение 2-го порядка. Уравнение (1) 2-го порядка в классе регулярных в области [img: http://localhost:8080/file/031316-116.jpg] решений можно записать в виде [img: http://localhost:8080/file/031316-117.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031316-118.jpg] - заданные в Wдействительные функции. Уравнение (6) гиперболично в области W, если в каждой точке этой области все характеристич. числа матрицы [img: http://localhost:8080/file/031316-119.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031316-120.jpg] старших коэффициентов akj(x).отличны от нуля, причем одно из этих чисел отличается по знаку от всех остальных. По отношению к уравнению (6), наряду с характеристич. поверхностью, выделяют два типа гладких поверхностей: пространственно ориентированные поверхности и временным образом ориентированные поверхности. Если поверхности заданы уравнением вида [img: http://localhost:8080/file/031316-121.jpg] то на поверхности первого типа [img: http://localhost:8080/file/031316-122.jpg] а на поверхности второго типа [img: http://localhost:8080/file/031316-123.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031316-124.jpg] Задача Коши для гиперболич. уравнений с начальными данными на временным образом ориентированных поверхностях, вообще говоря, не является корректно поставленной. Гиперболич. уравнение [img: http://localhost:8080/file/031316-125.jpg] наз. равномерно (или регулярно) гиперболическим в области W, если существует такое положительное число [img: http://localhost:8080/file/031316-126.jpg] что [img: http://localhost:8080/file/031316-127.jpg] для всех хиз [img: http://localhost:8080/file/031316-128.jpg] и любого ненулевого вектора [img: http://localhost:8080/file/031316-129.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031316-130.jpg] При n=1 неравенство [img: http://localhost:8080/file/031316-131.jpg] представляет собой необходимое и достаточное условие равномерной гиперболичности уравнения (6) в области W. Уравнение колебания струны [img: http://localhost:8080/file/031316-132.jpg] является типичным представителем линейных равномерно гиперболич. уравнений 2-го порядка с двумя независимыми переменными. Общее решение этого уравнения в любой выпуклой области W плоскости [img: http://localhost:8080/file/031316-133.jpg] дается Д'Аламбера формулой: [img: http://localhost:8080/file/031316-134.jpg] где fи g- произвольные функции. Гиперболич. уравнение (6) при n=1 после неособой действительной замены переменных х 0 и х 1 приводится кнормальному (каноническом у) в иду [img: http://localhost:8080/file/031316-135.jpg] Для гиперболич. систем, записанных в виде (7), где (у), В (у).и С(у) - заданные действительные квадратные матрицы порядка N, F (у) - заданный, а и - искомый векторы с Nкомпонентами, Римана методом полностью исследован вопрос о корректности задачи Коши с начальными данными на нехарактеристической (свободной) кривой и Гурса задача с данными на двух пересекающихся характеристиках. Основными задачами для гиперболич. уравнений являются: Коши задача, Коши характеристическая задача и смешанная задача (см. также Смешанная задача для гиперболического уравнения и системы). При исследовании основных задач важную роль играют фундаментальные решения, к-рые позволяют получать различные (интегральные) представления регулярных и обобщенных решений и установить их структурные и качественные свойства, в частности изучить вопрос о фронте волны и распространении разрывов. Уравнение (6) наз. ультрагиперболическим уравнением в области W, если в каждой точке [img: http://localhost:8080/file/031316-136.jpg] все характеристич. числа матрицы а(x) отличны от нуля, причем по крайней мере два из них отличаются по знаку от всех остальных, число к-рых не ниже двух. Примером ультрагиперболич. уравнения является уравнение вида [img: http://localhost:8080/file/031316-137.jpg] к-рое обладает следующим свойством: если и(х, у) - регулярное решение уравнения (8) в области W. евклидова пространства переменных [img: http://localhost:8080/file/031316-138.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031316-139.jpg] - произвольная точка W, то среднее значение функции [img: http://localhost:8080/file/031316-140.jpg] вычисленное по сфере [img: http://localhost:8080/file/031316-141.jpg] с центром в точке [img: http://localhost:8080/file/031316-142.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031316-143.jpg] и радиуса r, равно среднему значению функции и(х*, у), вычисленному по сфере [img: http://localhost:8080/file/031316-144.jpg] с центром в точке [img: http://localhost:8080/file/031316-145.jpg] и того же радиуса г. Эта теорема широко применяется в теории линейных гиперболич. уравнений 2-го порядка с постоянными коэффициентами.