Линейное эллиптическое уравнение и система

- дифференциальное уравнение (и система) с частными производными вида [img: http://localhost:8080/file/031319-79.jpg] где L - линейный эллиптич. оператор [img: http://localhost:8080/file/031319-80.jpg] Оператор (1) с действительными коэффициентами [img: http://localhost:8080/file/031319-81.jpg] эллиптичен в точке х, если характеристич. форма [img: http://localhost:8080/file/031319-82.jpg] является определенной в этой точке. Здесь [img: http://localhost:8080/file/031319-83.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031319-84.jpg] - мультииндекс (набор целых неотрицательных чисел), [img: http://localhost:8080/file/031319-85.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031319-86.jpg] В частности, порядок топератора Lдолжен быть четным m=2m'. С точностью до знака условие определенности форм записывается в виде [img: http://localhost:8080/file/031319-87.jpg] Оператор Lэллиптичен в области D, если он эллиптичен в каждой точке [img: http://localhost:8080/file/031319-88.jpg] и равномерно эллиптичен в этой области, если [img: http://localhost:8080/file/031319-89.jpg] в (2) не зависит от х. В случае уравнения 2-го порядка [img: http://localhost:8080/file/031319-90.jpg] это определение может быть переформулировано следующим образом. Уравнение (3) эллиптично в области D, если в каждой точке этой области путем замены независимых переменных оно допускает приведение к канонич. виду [img: http://localhost:8080/file/031319-91.jpg] с оператором Лапласа [img: http://localhost:8080/file/031319-92.jpg] в главной части. В случае эллиптич. уравнения на плоскости при весьма широких предположениях относительно коэффициентов [img: http://localhost:8080/file/031319-93.jpg] такое преобразование возможно не только в точке, но и во всей области (с. Простейшим эллиптич. уравнением является Лапласа уравнение, его решения наз. гармоническими функциями. Решения линейного эллиптич. уравнения (л. э. у.) можно охарактеризовать тем, что они имеют много общих свойств с гармонич. функциями. В плоском случае все гармонич. функции описываются как реальные части аналитич. функций, они являются действительными аналитич. функциями двух переменных. Аналогичным свойством обладают решения общего л. э. у. Lu=f. Если коэффициенты [img: http://localhost:8080/file/031319-94.jpg] и правая часть f(х).аналитичны по х=(x1,..., х п).в области D, то и любое решение этого уравнения также аналитично. Существуют и другие утверждения подобного типа. Напр., если коэффициенты и правая часть уравнения Lu=f непрерывно дифференцируемы до порядка kи их k-e производные удовлетворяют условию Гёльдера с показателем [img: http://localhost:8080/file/031320-1.jpg] то любое решение обладает производными до порядка k+m, удовлетворяющими условию Гёльдера с тем же показателем а. Принадлежность к классу Гёльдера здесь существенна. Если коэффициенты и правая часть просто непрерывны, то решения могут не иметь непрерывных производных порядка, равного порядку уравнения. Это верно даже для самого простого л. э. у.- Пуассона уравнения [img: http://localhost:8080/file/031320-2.jpg] Вышесказанное относится к классич. решениям, т. е. решениям, имеющим непрерывные производные до порядка, равного порядку уравнения. Существуют различные обобщения понятия решения. Напр., если коэффициенты [img: http://localhost:8080/file/031320-3.jpg] достаточно гладки, то для оператора (1) можно определить сопряженный по Лагранжу оператор [img: http://localhost:8080/file/031320-4.jpg] Локально интегрируемая функция и(х).наз. слабым решением уравнения Lu=f, если для всех [img: http://localhost:8080/file/031320-5.jpg] (бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем) выполнено тождество [img: http://localhost:8080/file/031320-6.jpg] Тогда, если коэффициенты и правая часть уравнения Lu=f непрерывны по Гёльдеру, то всякое слабое решение является классическим. Для уравнения Лапласа простейшей корректно поставленной задачей является Дирихле задача. В общем случае уравнения с оператором (1) краевая задача состоит в отыскании в области Dрешения и(х).уравнения Lu=f, удовлетворяющего [img: http://localhost:8080/file/031320-7.jpg] граничным условиям вида [img: http://localhost:8080/file/031320-8.jpg] Задаче Дирихле отвечают граничные операторы [img: http://localhost:8080/file/031320-9.jpg] = [img: http://localhost:8080/file/031320-10.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031320-11.jpg] означает дифференцирование по направлению внешней нормали. Для того чтобы краевая задача была нётеровой, граничные операторы Bj должны удовлетворять условию дополнительности Шапиро - Лопатинского (см. [2]) - алгебраич. условию, связывающему многочлены [img: http://localhost:8080/file/031320-12.jpg] в точках границы [img: http://localhost:8080/file/031320-13.jpg] Граничные операторы задачи Дирихле удовлетворяют этому условию по отношению к любому эллиптич. оператору L. Если коэффициенты дифференциального оператора и решение рассматривать в классе комплексных функций, то эллиптичность оператора Lв (1) определяется условием [img: http://localhost:8080/file/031320-14.jpg] Это определение допускает эллиптич. операторы нечетного порядка, как показывает пример оператора Коши - Рима на: [img: http://localhost:8080/file/031320-15.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031320-16.jpg] Кроме того, меняются свойства операторов четного порядка. Напр., для Бицадзе уравнения (см. [3]): [img: http://localhost:8080/file/031320-17.jpg] задача Дирихле не является корректно поставленной: если D - единичный круг, то функции вида [img: http://localhost:8080/file/031320-18.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031320-19.jpg] являются решениями однородной задачи Дирихле в области Dдля любой аналитич. функции f(z). Этот пример привел к необходимости выделять классы эллиптич. операторов, для к-рых сохраняется нётеровость задачи Дирихле. На этом пути возникло понятие сильно эллиптич. оператора (см. [4]). Оператор (1) - сильно эллиптический оператор, если для нек-рой комплексной функции [img: http://localhost:8080/file/031320-20.jpg] выполнено условие [img: http://localhost:8080/file/031320-21.jpg] В частности, порядок т - необходимо четное число. Следующим более широким понятием явилось понятие собственной (правильной) эллиптичности. Оператор (1) - собственно эллиптический оператор, если его порядок четен и для любой пары линейно независимых векторов [img: http://localhost:8080/file/031320-22.jpg] многочлен по [img: http://localhost:8080/file/031320-23.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031320-24.jpg] имеет ровно [img: http://localhost:8080/file/031320-25.jpg] корней с отрицательной мнимой частью истолько же - с положительной. Любой эллиптнч. оператор при [img: http://localhost:8080/file/031320-26.jpg] собственно эллиптичен, так что определение по существу относится только к случаю п=2. В теории л. э. у. значительную роль играют априорные оценки норм решений через нормы правых частей уравнения и граничных условий. Эти оценки начали систематически использоваться С. Н. Бернштейном (см. [6]) и свое дальнейшее развитие получили у Ю. Шаудера (см, [7]). Шаудеровские оценки относятся к решениям л. э. у. 2-го порядка в области Dс непрерывными по Гёльдеру коэффициентами и бывают двух видов. Оценки первого вида (оценки "внутри") состоят в том, что на любом компакте [img: http://localhost:8080/file/031320-27.jpg] _ производные до 2-го порядка включительно и их гёльдеровские константы оцениваются через sup|u| и через модуль и гёльдеровскуго константу правой части уравнения. Оценки второго вида (оценки "вплоть до границы") относятся к краевым задачам. Здесь оценивают те же величины, но уже в замыкании рассматриваемой области, пв оценке фигурируют нормы правых частей граничных условий. Шаудеровские оценки получили дальнейшее распространение для общих л. э. у. и краевых задач (см. [7]). Вывод этих оценок основан на теории потенциала. С помощью разбиения единицы им придается локальный характер, и дело сводится к оценке норм сингулярных интегральных операторов, к-рые представляют собой свертку с функциями, связанными с фундаментальными решениями (оценки "внутри") или с функциями Грина соответствующей краевой задачи в нек-рой стандартной области (оценки "вплоть до границы"). Эти оценки, полученные первоначально в метрике пространств Гёльдера [img: http://localhost:8080/file/031320-28.jpg] распространены на пространства Соболева [img: http://localhost:8080/file/031320-29.jpg] (Lp -оценки) и относятся к обобщенным решениям. Для сильно эллиптич. операторов существует априорная оценка, наз. неравенством Гёрдинга, к-рая получена другими методами. Она лежит в основе функционального подхода к исследованию краевых задач (методы гильбертовых пространств). В теории л. э. у. важное место занимают фундаментальные решения. Для оператора (1) с достаточно гладкими коэффициентами фундаментальное решение определяется как функция J(x, y), удовлетворяющая условию [img: http://localhost:8080/file/031320-30.jpg] для всех [img: http://localhost:8080/file/031320-31.jpg] С точки зрения теории обобщенных функций это означает равенство [img: http://localhost:8080/file/031320-32.jpg] где справа стоит дельта-функция Дирака. Фундаментальные решения л. э. у. существуют для уравнений с аналитич. оэффициентами (и сами тогда аналитичны), для уравнений с бесконечно дифференцируемыми коэффициентами (и также принадлежащие классу [img: http://localhost:8080/file/031320-33.jpg]) и для ряда других уравнений с более слабыми ограничениями на коэффициенты. Для эллиптич. оператора L0 с постоянными коэффициентами, состоящего из членов старшего порядка т=2т', фундаментальное решение зависит только от разности аргументов и имеет вид (у=0). [img: http://localhost:8080/file/031320-34.jpg] где q(х) - многочлен степени т-п при четном пи [img: http://localhost:8080/file/031320-35.jpg] в остальных случаях [img: http://localhost:8080/file/031320-36.jpg] аналитична на сфере |x| = 1 (см. 18]). В частности, для оператора Лапласа (m = 2) q = 0, [img: http://localhost:8080/file/031320-37.jpg] для n>2 и q=const, [img: http://localhost:8080/file/031320-38.jpg] для п=2. Фундаментальные решения позволяют строить различные явные представления для решений л. э. у. Они являются необходимым аппаратом при изучении краевых задач с помощью интегральных уравнений. Для уравнения 2-го порядка этот метод является классическим и дает наиболее точные результаты (см. [9]). Многообразные применения в теории л. э. у. 2-го порядка получил принцип максимума. Функции а ij, а i, а предполагаются непрерывными, оператор (3) равномерно эллиптичным в нек-рой области D. Функция и(х).непрерывна в замыкании [img: http://localhost:8080/file/031320-39.jpg] и принадлежит классу C2(D). Принцип максимума в его сильной форме заключается в следующем. Пусть М - оператор Lв (3), в котором [img: http://localhost:8080/file/031320-40.jpg] а) Если. [img: http://localhost:8080/file/031320-41.jpg] и функция и(х).достигает своего максимума во внутренней точке, то ипостоянна. б) Если [img: http://localhost:8080/file/031320-42.jpg] и максимум идостигается в иек-рой граничной точке х 0, к-рая расположена на поверхности нек-рого шара, целиком содержащегося в [img: http://localhost:8080/file/031320-43.jpg] то и(х).либо постоянна, либо производная в точке х 0 по направлению внешней нормали du/dv положительна. Аналогичные утверждения справедливы для оператора Lс [img: http://localhost:8080/file/031320-44.jpg] если в а) и б) под максимумом понимать положительный максимум. Принцип максимума является существенным элементом в доказательствах теорем единственности для решений ряда краевых задач. Он также имеет нек-рые аналоги в случае уравнений высшего порядка.