Линейно регулярный случайный процесс

- стационарный в широком смысле случайный процесс [img: http://localhost:8080/file/031315-210.jpg] для к-рого выполнено следующее условие регулярности: [img: http://localhost:8080/file/031315-211.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031315-212.jpg] - замкнутая в среднем квадратичном линейная оболочка значений [img: http://localhost:8080/file/031315-213.jpg] (здесь предполагается, что [img: http://localhost:8080/file/031315-214.jpg]). Регулярность означает невозможность (линейного) прогнозирования процесса [img: http://localhost:8080/file/031315-215.jpg] на слишком далекое будущее; точнее, если [img: http://localhost:8080/file/031315-216.jpg] есть наилучший линейный прогноз для [img: http://localhost:8080/file/031316-1.jpg] по значениям [img: http://localhost:8080/file/031316-2.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031316-3.jpg] Необходимым и достаточным условием регулярности (одномерного) стационарного процесса является наличие спектральной плотности [img: http://localhost:8080/file/031316-4.jpg] такой, что [img: http://localhost:8080/file/031316-5.jpg] Аналитич. условия регулярности многомерных и бесконечномерных стационарных процессов выглядят сложнее. В общем случае, когда спектральная плотность [img: http://localhost:8080/file/031316-6.jpg] представляет собой положительную операторную функцию в нек-ром гильбертовом пространстве, условие регулярности равносильно тому, что [img: http://localhost:8080/file/031316-7.jpg] допускает факторизацию вида [img: http://localhost:8080/file/031316-8.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031316-9.jpg] - граничное значение операторной функции [img: http://localhost:8080/file/031316-10.jpg] аналитичной в нижней полуплоскости [img: http://localhost:8080/file/031316-11.jpg] Всякий стационарный в широком смысле процесс [img: http://localhost:8080/file/031316-12.jpg] допускает разложение в ортогональную сумму [img: http://localhost:8080/file/031316-13.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031316-14.jpg] - линейно регулярный, а [img: http://localhost:8080/file/031316-15.jpg] - линейно сингулярный процесс, т.. е. стационарный в широком смысле случайный процесс, для к-рого [img: http://localhost:8080/file/031316-16.jpg] при этом [img: http://localhost:8080/file/031316-17.jpg] при всех t.