Линзовое пространство

- многообразие нечетной размерности, возникающее как пространство орбит изометричных свободных действий циклич. групп [img: http://localhost:8080/file/031322-37.jpg] на сфере S2n-1. Удобно взять в качестве S2n-1 единичную сферу в комплексном пространстве [img: http://localhost:8080/file/031322-38.jpg] в к-ром фиксирован базис. Пусть [img: http://localhost:8080/file/031322-39.jpg] действует на каждой координате zk умножением на [img: http://localhost:8080/file/031322-40.jpg] где тE обратимо по модулю h, т. е. существуют числа lk такие, что [img: http://localhost:8080/file/031322-41.jpg]. Это задает изометричное и свободное (благодаря условию обратимости mimod h).действие [img: http://localhost:8080/file/031322-42.jpg] на S2n-l, причем любое такое действие имеет описанный вид в подходящей системе координат. Рейдемейстера кручение, отвечающее корню [img: http://localhost:8080/file/031322-43.jpg] h-й степени из единицы, определяется для Л. п. [img: http://localhost:8080/file/031322-44.jpg] построенного этим способом, формулой [img: http://localhost:8080/file/031322-45.jpg] Любое кусочно линейное гомеоморфное ему Л. п. Lдолжно иметь равное (с точностью до [img: http://localhost:8080/file/031322-46.jpg]) кручение и оказывается, что наборы чисел [img: http://localhost:8080/file/031322-47.jpg] должны совпадать. Таким образом, эти наборы характеризуют Л. п. однозначно с точностью до кусочно линейного гомеоморфизма и даже до изометрии, а с другой стороны, благодаря топологич. инвариантности кручения - и с точностью до гомеоморфизма. Л. п. асферично до размерности 2п-2 (т. е. [img: http://localhost:8080/file/031322-48.jpg]), а фундаментальная группа равна [img: http://localhost:8080/file/031322-49.jpg] ввиду того факта, что универсальным накрывающим для [img: http://localhost:8080/file/031322-50.jpg] служит сфера S2n-1. Гомологии Lсовпадают до размерности 2n-2 с гомологиями группы [img: http://localhost:8080/file/031322-51.jpg] т. е. равны [img: http://localhost:8080/file/031322-52.jpg] во всех размерностях от 2 до 2n-2 и [img: http://localhost:8080/file/031322-53.jpg] ~ Прямой предел пространств Lдает Эйленберга - Маклейна пространство типа [img: http://localhost:8080/file/031322-54.jpg] Два Л. п. гомотопически эквивалентны тогда и только тогда, когда совпадают зацепления коэффициенты [img: http://localhost:8080/file/031322-55.jpg] где а - образующая группы двумерных когомологий. С помощью этих инвариантов устанавливается существование среди Л. п. асимметричных многообразий. В трехмерном случае Л. п. совпадают с многообразиями, имеющими Хегора диаграмму рода 1, и поэтому они являются Зейферта многообразиями. Фундаментальную область действия [img: http://localhost:8080/file/031322-56.jpg] на S3 удобно представлять себе в виде "линзы" - объединения шарового сегмента с его зеркальным образом - откуда и возникло название Л. п.