Ли алгебра

лиева алгебра,- унитарный k-модуль Lнад коммутативным кольцом k с единицей, к-рый снабжен билинейным отображением [img: http://localhost:8080/file/031308-22.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031308-23.jpg] прямого произведения [img: http://localhost:8080/file/031308-24.jpg] в L, обладающим следующими двумя свойствами: 1) [ х, х] = 0 (откуда вытекает антикоммутативность 2) (х,[ у, z]]+[ у,[z, х}] +[z,[ х, у]] = 0 (тождество Якоби). Таким образом, Ли а. является алгеброй над k(не обязательно ассоциативной); обычным образом определяются понятия подалгебры, идеала, факторалгебры и гомоморфизма алгебр Ли. Ли a. Lназ. коммутативной, если [ х, у] = 0 для всех х, [img: http://localhost:8080/file/031308-25.jpg] Наиболее важным является случай, когда k - поле (в особенности [img: http://localhost:8080/file/031308-26.jpg].. или [img: http://localhost:8080/file/031308-27.jpg]), a L - векторное пространство (вообще говоря, бесконечномерное) над k. Ли а. появились в математике в кон. 19 в. в связи с изучением Ли групп (см. также Ли локальная группа, Ли группа преобразований, Ли теорема), а в неявной форме несколько раньше в механике. Общей предпосылкой возникновения этого понятия было понятие "инфинитезимального преобразования", восходящее по меньшей мере ко времени возникновения исчисления бесконечно малых. Замкнутость интегралов класса С 2 уравнения Гамильтона относительно скобок Пуассона, удовлетворяющих тождеству Якоби, - одно из самых ранних замечаний, выраженное, собственно, на языке Ли а. (см. [8], [10]). Сам термин "Ли а." был введен Г. Вейлем (Н. Weyl) в 1934 (до этого времени использовались термины "инфинитезимальные преобразования рассматриваемой группы", или "инфинитезимальная группа"). С течением времени роль Ли а. возрастала пропорционально месту, занимаемому группами Ли в математике (особенно в геометрии), а также в классической и квантовой механике. Этим в первую очередь объясняется особое место Ли а. среди многих других многообразий универсальных алгебр. В наше время аппарат Ли а. воспринимается уже не только как полезное и мощное средство линеаризации теоретико-групповых задач (будь то в теории групп Ли или в значительной мере поглотившей ее и чрезвычайно разросшейся теории алгебраических групп, или же в стоящей несколько особняком теории конечных групп);это также источник красивых и трудных задач линейной алгебры. Имеется несколько естественных источников, доставляющих важнейшие примеры Ли а. 1) В рамках общей алгебры значение Ли а. определяется прежде всего тем, что множество Dеr(A) всех дифференцирований любой k-алгебры является Ли а. с операцией [img: http://localhost:8080/file/031308-28.jpg] Дифференцирования Ли a. Lвида [img: http://localhost:8080/file/031308-29.jpg] наз. внутренними дифференцирования м и, или присоединенными эндоморфизмам и. Они образуют в Der(L) подалгебру ad L, а отображение [img: http://localhost:8080/file/031308-30.jpg] является гомоморфизмом Ли а. [img: http://localhost:8080/file/031308-31.jpg] (присоединенное представление Ли a. L);его образ ad Lизоморфен фактор-алгебре алгебры Lпо ее центру [img: http://localhost:8080/file/031308-32.jpg] 2) Еще один существенный источник Ли а. связан со следующим простым наблюдением. Если L - ассоциативная алгебра над kс умножением [img: http://localhost:8080/file/031308-33.jpg] то умножение в k-модуле L, задаваемое правилом [img: http://localhost:8080/file/031308-34.jpg] наделяет Lструктурой Ли а. над k. Говорят, что (L,[,]) - Ли а., ассоциированная с ассоциативной алгеброй (L, Х). Так, классич. пример Ли a. (L,[,]) получится, если в качестве (L, Х).взять (ассоциативную) алгебру Mn(k).всех квадратных матриц порядка га над k. Следующие четыре бесконечные серии подалгебр в Ли а. указанного типа наз. классическими (k- поле нулевой характеристики): [img: http://localhost:8080/file/031308-35.jpg] При этом [img: http://localhost:8080/file/031308-36.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031308-37.jpg] Если, кроме того, поле kалгебраически замкнуто, то эти Ли а. замечательны тем, что ими и еще пятью Ли особыми алгебрами G2, F4, E6, Е 7, E8 размерностей 14, 52, 78, 133 и 248 соответственно исчерпываются, с точностью до изоморфизма, все простые (т. е. некоммутативные и не содержащие идеалов, отличных от 0 и самой алгебры) конечномерные Ли а. над k. 3) Еще один источник Ли а.- векторные поля на многообразии (см. [13], [14]). Пусть F - кольцо [img: http://localhost:8080/file/031308-38.jpg] гладких функций на [img: http://localhost:8080/file/031308-39.jpg] -гладком многообразии М. Векторное пространство Vect(M) всех [img: http://localhost:8080/file/031308-40.jpg] -гладких векторных полей на Мобразует Ли а. относительно операции коммутирования (см. Ли скобка), играющую важную роль в теории многообразий; Ли a. Vect(M) совпадает с Ли a. Der(F). Эта алгебра, вообще говоря, бесконечномерна. Если М - группа Ли, то подпространство в Vect (М), состоящее из всех левоинвариантных векторных полей, является конечномерной подалгеброй и наз. алгеброй Ли группы Ли М;она играет важную роль в теории групп Ли, позволяя переформулировать многие свойства групп Ли в терминах Ли а. См. также Ли алгебра алгебраической группы, Ли алгебра аналитической группы. Если в приведенном выше примере заменить кольцо Fна коммутативную алгебру [img: http://localhost:8080/file/031308-41.jpg] формальных степенных рядов над полем k, то вместо Vect(M) получается Ли a. Wn формальных векторных полей, состоящая из дифференциальных операторов [img: http://localhost:8080/file/031308-42.jpg] Подалгебры [img: http://localhost:8080/file/031308-43.jpg] состоящие из дифференцирований, аннулирующих соответственно внешние дифференциальные формы [img: http://localhost:8080/file/031308-44.jpg] а также подалгебра [img: http://localhost:8080/file/031308-45.jpg] дифференцирований, умножающих форму [img: http://localhost:8080/file/031308-46.jpg] на элементы из [img: http://localhost:8080/file/031308-47.jpg] вместе с алгеброй [img: http://localhost:8080/file/031308-48.jpg] составляют важный класс простых бесконечномерных Ли а. (алгебры Ли к а р т а н о в с к о г о типа). Алгебра Wn наз. общей, Sn - специальной, Н п - г а м и л ь т о н о в о й, Kn -контактной. Эти алгебры встречались еще у С. Ли (S. Lie) при изучении псевдогрупп преобразований ([img: http://localhost:8080/file/031308-49.jpg] или [img: http://localhost:8080/file/031308-50.jpg]), а затем исследовались по разным поводам Э. Картаном (Е. Cartan) и др. (см. [15], [17], [18], [19]). 4) Следующая общая конструкция позволяет строить [img: http://localhost:8080/file/031308-51.jpg] -алгебру Ли Lпо любой группе G;она находит применение в теории групп (см. Бёрнсайда проблема,[16]). Пусть [img: http://localhost:8080/file/031308-52.jpg] - нижний центральный ряд группы G. Тогда L - это прямая сумма аддитивно записанных факторгрупп [img: http://localhost:8080/file/031308-53.jpg] причем, по определению, произведение элементов [img: http://localhost:8080/file/031308-54.jpg] есть элемент из Gi+j/Gi+j-1, являющийся классом коммутатора элементов [img: http://localhost:8080/file/031308-55.jpg] представляющих соответственно хи у. На произвольные элементы из Lэта операция распространяется по дистрибутивности. Имеются (см. [16]) нек-рые обобщения этой конструкции. Строение алгебр Ли. Одним из общих результатов, показывающих, в частности, что конструкция 2) имеет в известном смысле универсальный характер, является Биркгофа - Витта теорема, согласно к-рой для любой Ли a. Lнад полем kсуществует такая ассоциативная k-алгебра U, что Lизоморфно вкладывается в Ли a. (U,[,]), ассоциированную с U. Если при этом Lконечномерна, то можно считать, что и Uконечномерна (см. Универсальная обертывающая алгебра). Пусть L - конечномерная Ли а. над полем kнулевой характеристики. Тогда Lлинейна, т. е. изоморфна подалгебре нек-рой Ли a. Mn(k).(теорема А д о). В Lимеется наибольший разрешимый идеал R, называемый радикалом (см. Ли разрешимая алгебра). Кроме того, в Lсуществует подалгебра S(называемая подалгеброй Лев и) такая, что L - прямая сумма векторных пространств Sи R, причем любая другая подалгебра с таким свойством переводится в Sавтоморфизмом алгебры L(теорема Леви - Мальцева). Подалгебра Sявляется полупростой (т. е. ее радикал равен нулю), и она может быть охарактеризована как максимальная полупростая подалгебра в L. Таким образом, Lявляется полупрямой суммой полупростой и разрешимой Ли а., что сводит задачу классификации конечномерных Ли а. над полем нулевой характеристики к описанию Ли а. этих двух типов. Хотя разрешимые Ли а. в нек-ром смысле "получаются" из тривиально устроенных одномерных (а именно, обладают цепочкой подалгебр [img: http://localhost:8080/file/031308-56.jpg] таких, что Li - идеал в Li-1 и Li-1/Li одномерна); строение их настолько сложно, что к настоящему времени (1982) фактически отсутствует даже корректная постановка задачи о классификации разрешимых Ли а. Напротив, конечномерные полупростые Ли а. над полем нулевой характеристики допускают полное описание (см. Ли полупростая алгебра):всякая такая алгебра разлагается в прямую сумму простых идеалов (и обратно, прямая сумма простых Ли а.- полупроста). В случае алгебраически замкнутого поля все простые Ли а. явно перечислены (см. п. 2); в случае произвольного поля kимеется процедура их нахождения, с помощью к-рой в ряде случаев (напр., при [img: http://localhost:8080/file/031308-57.jpg]) также найдена явная классификация. Конечномерные Ли а. над полем характеристики p>0 исследованы значительно менее полно (даже для алгебраически замкнутых полей). Эти Ли а. обладают многими специфич. свойствами. Напр., весьма нетривиальным оказался даже вопрос описания полупростых Ли а. в терминах простых алгебр (см. [23]). При любом рсуществуют параметрич. семейства простых Ли а., попарно неизоморфных друг другу. Теория Ли а. для этого случая находится в процессе становления, причудливым образом отражая в себе черты двух разных классов комплексных Ли а.- конечномерных простых и бесконечномерных транзитивных простых, соответствующих примитивным псевдогруппам Ли (см. [17], [18], [19]). Изучение бесконечномерных Ли а. началось еще в 19 в. одновременно с изучением конечномерных. Такие Ли а. естественно появляются при классификации примитивных псевдогрупп преобразований, предпринятой в 1909 Э. Картаном [20]. Эти алгебры обладают фильтрацией, для к-рой ассоциированная градуированная Ли а. имеет вид [img: http://localhost:8080/file/031308-58.jpg] и транзитивна. Бесконечномерные градуированные Ли а. являются предметом интенсивных исследований, в к-рых обнаруживаются связи этих Ли а. не только с классическими геометрич. вопросами, но и со многими другими областями математики (см. Ли градуированная алгебра, а также [17], [22]). Важные примеры бесконечномерных Ли а. появлялись в последнее время в теории уравнений математич. физики (напр., для уравнения Кортевега - де Фриса) и в формальном вариационном исчислении (см. [14]). Абстрактная теория бесконечномерных Ли а. (см., напр., [9]) находится пока в начальной фазе своего развития. Для построения структурной теории Ли а. и для большинства приложений в физике важную роль играет теория представлений Ли а. См. также Супералгебра, Ли алгебр многообразие.