Ли алгебра аналитической группы

а л г е б р а Л и группы Л и G, определенной над полем k, полным относительно нек-рого нетривиального абсолютного значения, -алгебра Ли группы G, рассматриваемой как Ли локальная группа. Таким образом, как векторное пространство отождествляется с касательным пространством к G в точке е. Операция умножения [, ] в алгебре Ли [img: http://localhost:8080/file/031308-76.jpg] может быть определена любым из следующих эквивалентных способов, 1) Пусть ad - дифференциал присоединенного представления группы G. Тогда ad X для любого вектора [img: http://localhost:8080/file/031308-77.jpg] является линейным преобразованием пространства [img: http://localhost:8080/file/031308-78.jpg] причем [img: http://localhost:8080/file/031308-79.jpg] для любого [img: http://localhost:8080/file/031308-80.jpg] 2) Пусть [img: http://localhost:8080/file/031308-81.jpg] Xи [img: http://localhost:8080/file/031308-82.jpg] - два касательных вектора к G в точке е к х(t).и у(t) - гладкие кривые в G, для к-рых Xи Yявляются касательными векторами при t=0. Тогда [X, Y]есть касательный вектор при s=0 к кривой [img: http://localhost:8080/file/031308-83.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031308-84.jpg] a s2=t. 3) Пусть U(G) - ассоциативная k-алгебра обобщенных функций на Gс носителем в е и с умножением, определяемым сверткой*. Пространство [img: http://localhost:8080/file/031308-85.jpg] отождествляется с множеством примитивных элементов в биалгеб-ре U(G).и для любых X, [img: http://localhost:8080/file/031308-86.jpg] вектор. [img: http://localhost:8080/file/031308-87.jpg] также лежит в [img: http://localhost:8080/file/031308-88.jpg] Тогда X*Y-Y*X=[X, Y]. 4) Пусть [img: http://localhost:8080/file/031308-89.jpg] - векторное пространство всех векторных полей на G, инвариантных относительно левых сдвигов на элементы из G. Сопоставление векторному полю его значения в точке [img: http://localhost:8080/file/031308-90.jpg] является изоморфизмом векторных пространств [img: http://localhost:8080/file/031308-91.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031308-92.jpg] С другой стороны, всякому векторному полю [img: http://localhost:8080/file/031308-93.jpg] сопоставляется левоинва-риантное дифференцирование k-алгебры Ааналитич. функций на G по формуле [img: http://localhost:8080/file/031308-94.jpg] для любых [img: http://localhost:8080/file/031308-95.jpg] и это сопоставление является изоморфизмом пространства [img: http://localhost:8080/file/031308-96.jpg] с векторным пространством Dвсех левоинвариантных дифференцирований алгебры А. Для любого [img: http://localhost:8080/file/031308-97.jpg] через [img: http://localhost:8080/file/031308-98.jpg] обозначается лево-инвариантное векторное поле, для к-рого (LX)e=X. Если X, [img: http://localhost:8080/file/031308-99.jpg] то произведение [X, Y]может быть определено как такой вектор из [img: http://localhost:8080/file/031308-100.jpg] что поле L[X,Y] задает дифференцирование [img: http://localhost:8080/file/031308-101.jpg] алгебры А. Пример. Пусть G - аналитич. руппа всех невырожденных матриц порядка п с коэффициентами в k. Тогда касательное пространство [img: http://localhost:8080/file/031308-102.jpg] к G в единице отождествляется с пространством всех матриц порядка пскоэффициентами в k, а структура алгебры Ли на [img: http://localhost:8080/file/031308-103.jpg] определяется формулой [X, Y]=XY-YX. Сопоставление аналитич. руппе ее алгебры Ли обладает важными функториальными свойствами и в значительной степени сводит изучение аналитич. рупп к изучению их алгебр Ли. А именно, пусть G1 и G2 - аналитич. руппы с алгебрами Ли [img: http://localhost:8080/file/031308-104.jpg] - аналитич. омоморфизм. Тогда [img: http://localhost:8080/file/031308-105.jpg] гомоморфизм алгебр Ли. Ли а. а. г. [img: http://localhost:8080/file/031308-106.jpg] изоморфна [img: http://localhost:8080/file/031308-107.jpg] Если [img: http://localhost:8080/file/031308-108.jpg] - Ли а. а. г. G, Н - подгруппа Ли в G (см. Ли группа).и [img: http://localhost:8080/file/031308-109.jpg] - Ли а. а. г. Н, то [img: http://localhost:8080/file/031308-110.jpg] - подалгебра в [img: http://localhost:8080/file/031308-111.jpg] причем, если H нормальна, то [img: http://localhost:8080/file/031308-112.jpg] - идеал в [img: http://localhost:8080/file/031308-113.jpg] Пусть характеристика поля kравна 0. Алгебра Ли пересечения подгрупп Ли совпадает с пересечением их алгебр Ли. Алгебра Ли ядра гомоморфизма [img: http://localhost:8080/file/031308-114.jpg] аналитич. рупп есть ядро гомоморфизма [img: http://localhost:8080/file/031308-115.jpg] их алгебр Ли. Алгебра Ли факторгруппы G/H, где Н - аналитич. нормальная подгруппа в G, есть фактора-лгебра алгебры Ли группы Gпо идеалу, отвечающему подгруппе Н. Если [img: http://localhost:8080/file/031308-116.jpg] - Ли а. а. г. G [img: http://localhost:8080/file/031308-117.jpg] - подалгебра в G, то существует единственная связная подгруппа Ли [img: http://localhost:8080/file/031308-118.jpg] с алгеброй Ли [img: http://localhost:8080/file/031308-119.jpg] при этом Нне обязательно замкнута в G. Ли а. а. г. разрешима (нильпотентна, полупроста) тогда и только тогда, когда сама группа разрешима (нильпотентна, полупроста). Указанная связь между категориями аналитич. рупп и алгебр Ли не является все же, в отличие от случая локальных групп Ли, эквивалентностью этих категорий. А именно, неизоморфные аналитич. руппы могут иметь изоморфные алгебры Ли. Аналитич. группы с изоморфными алгебрами Ли наз. локально изоморфны м и. В случае поля kнулевой характеристики каждой конечномерной алгебре Ли над kотвечает нек-рый класс локально изоморфных аналитич. рупп. Пусть [img: http://localhost:8080/file/031308-120.jpg] или С. Среди всех локально изоморфных аналитич. рупп имеется единственная с точностью до изоморфизма связная и односвязная группа; категория аналитич. рупп такого типа эквивалентна категории конечномерных алгебр Ли над k. В частности, всякий гомоморфизм алгебр Ли индуцирован аналитич. омоморфизмом соответствующих связных и односвязных аналитич. рупп. Любая связная группа Ли, локально изоморфная данной связной и односвязной группе Ли G, имеет вид G/D, где D - дискретный нормальный делитель, лежащий в центре группы G.