Ли градуированная алгебра

алгебра Ли [img: http://localhost:8080/file/031309-11.jpg] над полем К, градуированная при помощи нек-рой абелевой группы А, т. е. разложенная в прямую сумму подпространств [img: http://localhost:8080/file/031309-12.jpg], таким образом, что [img: http://localhost:8080/file/031309-13.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031309-14.jpg] Если А - упорядоченная группа, то для каждой фильтрованной алгебры Ли ассоциированная с ней градуированная алгебра является Ли г. а. Ли г. а. играют важную роль в классификации простых конечномерных алгебр Ли, йордановых алгебр и их обобщений, примитивных псевдогрупп преобразований (см. [3], [4]). Для любой полупростой вещественной алгебры Ли ее Картана разложение может рассматриваться как [img: http://localhost:8080/file/031309-15.jpg] -градуировка. Локальная классификация римановых симметрич. пространств сводится к классификации [img: http://localhost:8080/file/031309-16.jpg] -градуированных простых комплексных алгебр Ли [6]. Некоторые конструкции градуированных алгебр Ли. 1) Пусть U- ассоциативная алгебра, снабженная возрастающей фильтрацией [img: http://localhost:8080/file/031309-17.jpg] причем [img: http://localhost:8080/file/031309-18.jpg] где d - фиксированное натуральное число, и [img: http://localhost:8080/file/031309-19.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031309-20.jpg] Тогда операция коммутирования в U индуцирует в пространстве [img: http://localhost:8080/file/031309-21.jpg] структуру [img: http://localhost:8080/file/031309-22.jpg] -градуированной алгебры Ли. Таким путем могут быть получены нек-рые алгебры Ли функций с Пуассона скобкой ъ качество коммутатора. В следующих двух примерах [img: http://localhost:8080/file/031309-23.jpg] при k>0 и Uk=0 при k<0. а) Пусть U - алгебра линейных дифференциальных операторов с полиномиальными коэффициентами, U1- подпространство, натянутое на се образующие [img: http://localhost:8080/file/031309-24.jpg] i=l,..., т. Тогда [img: http://localhost:8080/file/031309-25.jpg] и U есть алгебра Ли многочленов от р i, gi с обычной скобкой Пуассона. б) Пусть U - универсальная обертывающая алгебра конечномерной алгебры Ли [img: http://localhost:8080/file/031309-26.jpg] причем U1=g. Тогда [img: http://localhost:8080/file/031309-27.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031309-28.jpg] канонически изоморфна (как векторное пространство) симметрич. алгебре над [img: http://localhost:8080/file/031309-29.jpg] т. е. алгебре многочленов на сопряженном пространстве [img: http://localhost:8080/file/031309-30.jpg] (теорема Пуанкаре - Бнркгофа-Витта). Если [img: http://localhost:8080/file/031309-31.jpg] - алгебра Ли связной группы Ли G, то коммутатор элементов из [img: http://localhost:8080/file/031309-32.jpg] можно интерпретировать либо как скобку Пуассона для соответствующих левоинвариантных функций на кокасательном расслоении T*G, либо как скобку Пуассона на каждой орбите ко-присоединенного представления, определяемую посредством стандартной симплектич. структуры на этих орбитах. 2) Пусть char [img: http://localhost:8080/file/031309-33.jpg] Eесть re-мерное векторное пространство над К, снабженное невырожденной квадратичной формой Q', e1,..., е п - нек-рый ортогональный базис в Е. Разложение Клиффорда алгебры С(Q).в сумму одномерных подпространств [img: http://localhost:8080/file/031309-34.jpg] i1,..., ik, является ее [img: http://localhost:8080/file/031309-35.jpg] -градуировкой. При n=2m элементы алгебры С(Q).с нулевым следом образуют простую Ли г. а. типа [img: http://localhost:8080/file/031309-36.jpg] ее градуировка обладает высокой степенью симметрии; в частности, все градуирующие подпространства равноправны. Аналогичные градуировки (при помощи различных конечных групп) имеются и у других простых алгебр Ли [1]. 3) Каждой псевдогруппе Ли преобразований отвечает нек-рая алгебра Ли векторных полей. Росток lэтой алгебры Ли в любой точке обладает естественной [img: http://localhost:8080/file/031309-37.jpg] -фильтрацией [img: http://localhost:8080/file/031309-38.jpg] где к lk относятся ростки тех векторных полой, координаты к-рых разлагаются в степенные ряды без членов степени меньше чем k+l. Ассоциированная Ли г. а. может быть интерпретирована как нек-рая алгебра Ли полиномиальных векторных полей. Классификация простых градуированных алгебр Ли. Простым примитивным псевдогруппам Ли соответствуют следующие 4 серии простых бесконечномерных Ли г. а. (см. [5]): Wn- алгебра Ли всех полиномиальных векторных полей в n-мерном аффинном пространстве; Sn - ее подалгебра, состоящая из векторных полей с нулевой дивергенцией; Н п, где n=2m,- подалгебра, состоящая из векторных полей, аннулирующих дифференциальную форму [img: http://localhost:8080/file/031309-39.jpg] (гамильтоновых векторных полей); К n, где n=2m+l,- подалгебра, состоящая из векторных полей, умножающих дифференциальную форму [img: http://localhost:8080/file/031309-40.jpg] на функцию. Над полями характеристики р>0 могут быть определены простые конечномерные Ли г. а., аналогичные Wn, Sn, Н n и Kn (см. [5]). Простые Ли г. а. другого типа получаются следующим образом [4]. Пусть [img: http://localhost:8080/file/031309-41.jpg] - алгебра Ли, определяемая при помощи неразложимой матрицы Картана [img: http://localhost:8080/file/031309-42.jpg] (здесь и далее употребляются обозначения статьи Картана матрица). Алгебра [img: http://localhost:8080/file/031309-43.jpg] снабжается [img: http://localhost:8080/file/031309-44.jpg] -градуировкой так, что [img: http://localhost:8080/file/031309-45.jpg] - строка (0...1...0), причем 1 стоит [img: http://localhost:8080/file/031309-46.jpg] на i-м месте. Элементы [img: http://localhost:8080/file/031309-47.jpg] для к-рых [img: http://localhost:8080/file/031309-48.jpg] наз. корнями, а ai - простыми корнями. Всякий корень есть линейная комбинация простых корней с целыми коэффициентами одного знака и [img: http://localhost:8080/file/031309-49.jpg] для любого [img: http://localhost:8080/file/031309-50.jpg] Факторалгебра [img: http://localhost:8080/file/031309-51.jpg] алгебры [img: http://localhost:8080/file/031309-52.jpg] по ее центру, лежащему в [img: http://localhost:8080/file/031309-53.jpg] проста как градуированная алгебра, т. е. не имеет нетривиальных градуирован, идеалов. Пусть Р- совокупность линейных комбинаций строк матрицы Ас положительными коэффициентами. Имеет место один из следующих случаев: (П) Рсодержит строку, все элементы к-рой положительны; (Н) Рсодержит нулевую строку; (О) Рсодержит строку, все элементы к-рой отрицательны. В случае [img: http://localhost:8080/file/031309-54.jpg] - простая конечномерная алгебра Ли. В случае [img: http://localhost:8080/file/031309-55.jpg] - простая бесконечномерная алгебра Ли. В случае (Н) алгебра [img: http://localhost:8080/file/031309-56.jpg] проста лишь как градуированная алгебра. Она может быть превращена в [img: http://localhost:8080/file/031309-57.jpg] -алгебру так, что: а) [img: http://localhost:8080/file/031309-58.jpg] где v - нек-рая строка из положительных чисел; б) факторалгебра [img: http://localhost:8080/file/031309-59.jpg] есть простая конечномерная алгебра Ли. Наибольший общий делитель всех компонент vi строки v, равный 1, 2 или 3, наз. индексом алгебры [img: http://localhost:8080/file/031309-60.jpg] В следующей таблице приведен список всех простых Ли г. а. с матрицей Картана типа (Н). Здесь алгебра [img: http://localhost:8080/file/031309-61.jpg] обозначается так же, как и [img: http://localhost:8080/file/031309-62.jpg] но с добавлением ее индекса, указываемого в скобках. Схема простых корней описывает матрицу А. Ее вершины соответствуют простым корням; i-я и j-я вершины соединены (а ij а jy)-кратным ребром, ориентированным от i-й вершины к j-й, если [img: http://localhost:8080/file/031309-63.jpg] и неориентированным, если [img: http://localhost:8080/file/031309-64.jpg] Возле вершин указаны числа vi. С помощью Ли г. а. с матрицей Картана типа (Н) классифицируются [img: http://localhost:8080/file/031309-65.jpg] -градуированные простые конечномерные алгебры Ли (см. [4], [2]). А именно, пусть [img: http://localhost:8080/file/031309-66.jpg] где Аудовлетворяет условию (Н), и [img: http://localhost:8080/file/031309-67.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031309-68.jpg] - такей гомоморфизм, что [img: http://localhost:8080/file/031309-69.jpg] Тогда [img: http://localhost:8080/file/031309-70.jpg] при любом [img: http://localhost:8080/file/031309-71.jpg] изоморфно отображается на подпространство [img: http://localhost:8080/file/031309-72.jpg] зависящее только от вычета kпо модулю т, и разложение [img: http://localhost:8080/file/031309-73.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031309-74.jpg] есть [img: http://localhost:8080/file/031309-75.jpg] -градуировка алгебры [img: http://localhost:8080/file/031309-76.jpg] Если поле Калгебраически замкнуто, то описанным способом получаются, причем без повторений, все [img: http://localhost:8080/file/031309-77.jpg] градуированные простые конечномерные алгебры Ли над К. Индекс алгебры [img: http://localhost:8080/file/031309-78.jpg] равен порядку автоморфизма [img: http://localhost:8080/file/031309-79.jpg] алгебры [img: http://localhost:8080/file/031309-80.jpg] по модулю группы внутренних автоморфизмов. Имеется классификация простых [img: http://localhost:8080/file/031309-81.jpg] -градуированных алгебр Ли [img: http://localhost:8080/file/031309-82.jpg] удовлетворяющих условиям: а) [img: http://localhost:8080/file/031309-84.jpg] для нек-рых Си N;б) [img: http://localhost:8080/file/031309-85.jpg] порождается подпространством [img: http://localhost:8080/file/031309-86.jpg] в) представление [img: http://localhost:8080/file/031309-87.jpg] на [img: http://localhost:8080/file/031309-88.jpg] неприводимо. В этом случае либо [img: http://localhost:8080/file/031309-89.jpg] конечномерна, либо [img: http://localhost:8080/file/031309-90.jpg] есть одна из алгебр Wn, Sn, Н п, К п, либо [img: http://localhost:8080/file/031309-91.jpg] есть алгебра [img: http://localhost:8080/file/031309-92.jpg] определяемая матрицей Картана типа (Н), снабженная подходящей [img: http://localhost:8080/file/031309-93.jpg] -градуировкой [4]. Иногда [img: http://localhost:8080/file/031309-94.jpg] -градуированной алгеброй Ли наз. супералгебра Ли. [img: http://localhost:8080/file/031309-83.jpg]