Ли дифференцирование

естественная операция на дифференцируемом многообразии, сопоставляющая дифференцируемому векторному полю Xи дифференцируемому геометрич. объекту Qна многообразии Мнек-рый новый геометрич. объект [img: http://localhost:8080/file/031310-6.jpg] описывающий скорость изменения геометрич. объекта Qотносительно однопараметрич. группы преобразований jt многообразия М, порожденной полем X. Геометрич. объект. [img: http://localhost:8080/file/031310-7.jpg] наз. производной Ли геометрического объекта Qотносительно векторного поля X. В частном случае, когда Qесть векторнозначная функция на М, ее производная Ли [img: http://localhost:8080/file/031310-8.jpg] совпадает с производной [img: http://localhost:8080/file/031310-9.jpg] функции Qпо направлению векторного поля Xи задается формулой [img: http://localhost:8080/file/031310-10.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031310-11.jpg] - локальная однопараметрич. группа преобразований многообразия М, порожденная полем X, или в локальных координатах х i - формулой [img: http://localhost:8080/file/031310-12.jpg] В общем случае определение Ли д. состоит в следующем. Пусть W - нек-рое GLk(n)-пространство, т. е. многообразие с фиксированным действием полной дифференциальной группы GLk(n) порядка k(группы k-струй в нуле диффеоморфизмов [img: http://localhost:8080/file/031310-13.jpg]). Пусть [img: http://localhost:8080/file/031310-14.jpg] ' - геометрич. объект порядка kтипа wна n-мерном многообразии М, рассматриваемый как GLk(n)-эквивариантвое отображение главного GLk(n)-расслоения кореперов PkM k-то порядка на Мв W. Локальная однопараметрич. группа преобразований [img: http://localhost:8080/file/031310-15.jpg] многообразия М, порожденная векторным полем Xна М, индуцирует локальную однопараметрич. группу преобразований [img: http://localhost:8080/file/031310-16.jpg] многообразия кореперов PkM. Ее поле скоростей [img: http://localhost:8080/file/031310-17.jpg] наз. полным лифтом поля Xна PkM. Производная Ли геометрич. объекта Qтипа Мотносительно-векторного поля Xна Мопределяется как геометрич. объект. [img: http://localhost:8080/file/031310-18.jpg] типа TW (где TW - касательное расслоение многообразия W, рассматриваемое естественным образом как GLk(n)-пространство), задаваемый формулой [img: http://localhost:8080/file/031310-19.jpg] Значение производной Ли [img: http://localhost:8080/file/031310-20.jpg] в точке [img: http://localhost:8080/file/031310-21.jpg] зависит, и притом линейно, только от 1-струи в точке Pk отображения Qи от значения в этой точке векторного поля Х (k) (или, что эквивалентно, от k-струи поля Xв соответствующей точке [img: http://localhost:8080/file/031310-22.jpg]). Если геометрич. объект Qлинеен, т. е. соответствующее GLk(n)-пространство Wявляется векторным пространством с линейным действием группы GLk(n), то-касательное многообразие TW естественным образом отождествляется с прямым произведением [img: http://localhost:8080/file/031310-23.jpg], и поэтому производную Ли [img: http://localhost:8080/file/031310-24.jpg] можно рассматривать как пару геометрич. объектов типа W. Первый из них есть само Q, а второй, обычно отождествляемый с самой производной Ли линейного геометрич. объекта Q, равен производной [img: http://localhost:8080/file/031310-25.jpg] функции Qпо направлению векторного поля Х (k): [img: http://localhost:8080/file/031310-26.jpg] Таким образом, производную Ли линейного геометрич. объекта можно рассматривать как геометрич. объект того же типа, что и Q. Локальные координаты х i в многообразии Мопределяют локальные координаты [img: http://localhost:8080/file/031310-27.jpg] в многообразии Р 1 М кореперов 1-го порядка: [img: http://localhost:8080/file/031310-28.jpg] В этих координатах производная Ли любого геометрич. объекта [img: http://localhost:8080/file/031310-29.jpg] 1-го порядка (напр., тензорного поля) по направлению векторного поля [img: http://localhost:8080/file/031310-30.jpg] задается формулой [img: http://localhost:8080/file/031310-31.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031310-32.jpg] Аналогичная формула справедлива для производной Ли геометрич. объекта любого порядка. Производная Ли [img: http://localhost:8080/file/031310-33.jpg] в пространстве дифференциальных форм на многообразии Мвыражается через оператор внешнего дифференцирования dи оператор внутреннего умножения [img: http://localhost:8080/file/031310-34.jpg] (определяемый как свертка векторного поля с дифференциальной формой) с помощью следующей формулы гомотопии: [img: http://localhost:8080/file/031310-35.jpg] Обратно, оператор внешнего дифференцирования dr действующий на р-форму со, выражается через Ли д. по формуле [img: http://localhost:8080/file/031310-36.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031310-37.jpg] означает, что соответствующий символ должен быть пропущен, [img: http://localhost:8080/file/031310-38.jpg] - векторные поля. В отличие от ковариантного дифференцирования, требующего введения связности, операция Ли д. определяется структурой дифференцируемого многообразия, а производная Ли геометрич. объекта Qпо направлению векторного поля Xявляется конкомитантом геометрич. объектов Xи Q.