Ли линейная алгебра

над полем k-алгебра Ли [img: http://localhost:8080/file/031310-78.jpg] элементы к-рой являются линейными преобразованиями нек-рого векторного пространства Vнад k; сложение элементов и их умножение на элементы из k определяются обычным образом, а коммутатор [ х, у]элементов х, [img: http://localhost:8080/file/031310-79.jpg]. задается формулой [img: http://localhost:8080/file/031310-80.jpg] (ху н ух - обычные произведения линейных преобразований). Ли л. а., состоящая из всех линейных преобразований пространства V, обозначается [img: http://localhost:8080/file/031310-81.jpg] Если V=kn, то [img: http://localhost:8080/file/031310-82.jpg] естественно отождествляется с множеством всех квадратных матриц порядка n над kи обозначается [img: http://localhost:8080/file/031310-83.jpg] Произвольная Ли л. а. - это подалгебра нек-рой алгебры Ли [img: http://localhost:8080/file/031310-84.jpg] Примеры. 1) Пусть Vнаделено структурой ассоциативной алгебры. Тогда все дифференцирования алгебры Vобразуют Ли л. а. Если V - алгебра Ли, то для фиксированного элемента [img: http://localhost:8080/file/031310-85.jpg] присоединенное к хлинейное преобразование пространства V, определенное формулой [img: http://localhost:8080/file/031310-86.jpg] будет дифференцированием алгебры V; оно обозначается ad х. Множество [img: http://localhost:8080/file/031310-87.jpg] является Ли л. а., она наз. присоединенной линейной алгеброй Ли, или алгеброй Ли внутренних дифференцирований алгебры V.2) Пусть k - поле, полное относительно нек-рого нетривиального абсолютного значения, V - нормируемое полное пространство над kи G - линейная группа Ли преобразований пространства V, т. е. подгруппа Ли в группе Ли всех автоморфизмов пространства V. Тогда Ли алгебра аналитической группы G естественно отождествляется с подалгеброй Ли в [img: http://localhost:8080/file/031310-88.jpg] т. е. является Ли л. а. Проблема существования изоморфизма произвольной конечномерной алгебры Ли с нек-рой Ли л. а. возникла уже в первых работах по теории групп и алгебр Ли, но была положительно решена лишь в 1935 теоремой Адо (см. [4]): каждая конечномерная алгебра Ли [img: http://localhost:8080/file/031310-89.jpg] над полем нулевой характеристики обладает точным конечномерным представлением [img: http://localhost:8080/file/031310-90.jpg] (и, более того, если [img: http://localhost:8080/file/031310-91.jpg] - наибольший нильпотентный идеал в [img: http://localhost:8080/file/031310-92.jpg] то представление [img: http://localhost:8080/file/031310-93.jpg] можно выбрать так, чтобы все элементы из [img: http://localhost:8080/file/031310-94.jpg] были нильпотентны). Для групп Ли аналог этой теоремы, вообще говоря, не имеет места: напр., универсальная накрывающая группы вещественных унимодулярных матриц порядка 2 не допускает точного линейного представления. См. также Ли алгебраическая алгебра.