Ли локальная алгебра

алгебра Ли, элементами к-рой являются гладкие функции на гладком вещественном многообразии М(или, более общо, гладкие сечения гладкого векторного расслоения Е над М), а операция коммутирования непрерывна в [img: http://localhost:8080/file/031310-95.jpg] -топологии и носит локальный характер, т. е. [img: http://localhost:8080/file/031310-96.jpg] где supp f - носитель функции (сечения) f. Известна полная классификация Ли л. а. для расслоений Ес одномерным слоем (в частности, для обычных функций) (см. [3]). А именно, операция коммутирования в этом случае является бидифференциальным оператором первого порядка, т. е. имеет вид [img: http://localhost:8080/file/031310-97.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031310-98.jpg] - частные производные по локальным координатам на М. Далее, пусть Р(х) - подпространство в касательном пространстве Т Х М к многообразию Мв точке [img: http://localhost:8080/file/031310-99.jpg] порожденное векторами [img: http://localhost:8080/file/031310-100.jpg] Тогда распределение [img: http://localhost:8080/file/031310-101.jpg] интегрируемо, так что многообразие Мраспадается в объединение [img: http://localhost:8080/file/031310-102.jpg] интегральных многообразий. Операция коммутирования перестановочна с ограничением на Ma, и возникающие таким образом структуры Ли л. Каждая транзитивная Ли л. а. локально определяется размерностью подстилающего многообразия с точностью до замены переменных в базе и слое. Для четномерного многообразия она изоморфна алгебре скобок Пуассона, а для нечетномерных - алгебре скобок Лагранжа (см. [1]). Примером Ли л. а., иллюстрирующим общую теорию, является структура алгебры Ли в [img: http://localhost:8080/file/031310-103.jpg], в к-рой [img: http://localhost:8080/file/031310-104.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031310-105.jpg] - структурные константы нек-рой n-мерной алгебры Ли [img: http://localhost:8080/file/031310-106.jpg] (см. [2]). В этом случае многообразие [img: http://localhost:8080/file/031310-107.jpg] естественно отождествляется с пространством [img: http://localhost:8080/file/031310-108.jpg] двойственным к [img: http://localhost:8080/file/031310-109.jpg] а разбиение на подмногообразия М a, совпадает с разбиением [img: http://localhost:8080/file/031310-110.jpg] на орбиты коприсоединенного представления. Ли л. а. возникают как алгебры Ли нек-рых бесконечномерных групп Ли. В частности, они являются алгебрами Ли для дифференциальных групп в смысле Дж. Ритта [4]. Из работы [6] вытекает описание всех Ли л. а., связанных с расслоениями на прямой с двумерным слоем. Все такие Ли л. а. являются расширениями алгебры скобок Лагранжа (которая в этом случае совпадает с алгеброй Ли векторных полей) с помощью тривиальной Ли л. а. с одномерным слоем. Анонсирована [6] классификация "простых" Ли л. а.