Ли разрешимая алгебра

алгебра Ли [img: http://localhost:8080/file/031311-208.jpg] над полем К, удовлетворяющая одному из следующих эквивалентных условий: 1) члены производного ряда [img: http://localhost:8080/file/031311-209.jpg] для [img: http://localhost:8080/file/031311-210.jpg] равны {0} при достаточно большом k; 2).существует конечная убывающая цепочка идеалов [img: http://localhost:8080/file/031311-211.jpg] алгебры [img: http://localhost:8080/file/031311-212.jpg] таких, что [img: http://localhost:8080/file/031311-213.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031311-214.jpg] (т. е. алгебры Ли [img: http://localhost:8080/file/031311-215.jpg] - абелевы) для всех [img: http://localhost:8080/file/031311-216.jpg] 3) существует конечная убывающая цепочка подалгебр [img: http://localhost:8080/file/031311-217.jpg] таких, что [img: http://localhost:8080/file/031311-218.jpg] - идеал в [img: http://localhost:8080/file/031311-219.jpg] - одномерная (абелева) алгебра Ли для [img: http://localhost:8080/file/031311-220.jpg] Нильпотентная алгебра Ли разрешима. Если F={Vi}- полный флаг в конечномерном векторном пространстве Vнад К, то [img: http://localhost:8080/file/031311-221.jpg] есть разрешимая подалгебра в алгебре Ли [img: http://localhost:8080/file/031311-222.jpg] всех линейных преобразований пространства V. Если в Vвыбрать базис, согласованный с флагом F, то в нем элементы алгебры [img: http://localhost:8080/file/031311-223.jpg] представятся верхними треугольными матрицами; полученная матричная Ли р. а. обозначается t (n, К), где n=dim V. Класс Ли р. а. замкнут относительно перехода к подалгебре, факторалгебре и расширению. В частности, любая подалгебра в t (п, К).разрешима. Если char K=0 и поле Калгебраически замкнуто, то любая конечномерная Ли р. а. изоморфна подалгебре в t (n, К).при нек-ром п. Одним из основных свойств Ли р. а. является теорема Ли: пусть [img: http://localhost:8080/file/031311-224.jpg] - Ли р. а. над алгебраически замкнутым полем характеристики 0 и [img: http://localhost:8080/file/031311-225.jpg] - ее конечномерное линейное представление. Тогда в Vсуществует такой полный флаг F, что [img: http://localhost:8080/file/031311-226.jpg] В частности, если р неприводимо, то dim V=l. Идеалы алгебры [img: http://localhost:8080/file/031311-227.jpg] можно выбрать [img: http://localhost:8080/file/031311-228.jpg] образующими полный флаг, т. е. такими, что Конечномерная алгебра Ли [img: http://localhost:8080/file/031311-229.jpg] над полом характеристики 0 разрешима тогда и только тогда, когда алгебра [img: http://localhost:8080/file/031311-230.jpg] нильпотентна. Другой критерий разрешимости (критерий Картана): алгебра [img: http://localhost:8080/file/031311-231.jpg] разрешима тогда и только тогда, когда [img: http://localhost:8080/file/031311-232.jpg] ортогонально всей [img: http://localhost:8080/file/031311-233.jpg] относительно Киллинга формы (или любой билинейной формы, ассоциированной с точным конечномерным представлением алгебры [img: http://localhost:8080/file/031311-234.jpg]). Ли р. а. впервые рассмотрел С. Ли (S. Lie) в связи с изучением разрешимых групп Ли преобразований. Изучение Ли р. а. приобрело большое значение после введения понятия радикала (т. е. наибольшего разрешимого идеала) произвольной конечномерной алгебры Ли [img: http://localhost:8080/file/031311-235.jpg] и доказано, что в случае char K=0 алгебра [img: http://localhost:8080/file/031311-236.jpg] является полупрямой суммой своего радикала и максимальной полупростой подалгебры (см. Леви,- Мальцева разложение). Это позволило свести задачу классификации произвольных алгебр Ли к перечислению полупростых (что для [img: http://localhost:8080/file/031311-237.jpg] было сделано уже В. Киллингом) и разрешимых алгебр. Классификация же Ли р. а. проведена (для [img: http://localhost:8080/file/031311-238.jpg]) лишь в размерностях [img: http://localhost:8080/file/031311-239.jpg] Если [img: http://localhost:8080/file/031311-240.jpg] - разрешимая алгебраич. подалгебра в [img: http://localhost:8080/file/031311-241.jpg] где V - конечномерное пространство над полем Кхарактеристики 0, то [img: http://localhost:8080/file/031311-242.jpg] разлагается в полупрямое произведение нильпотентного идеала, образуемого всеми нильпотентными преобразованиями из [img: http://localhost:8080/file/031311-243.jpg] и нек-рой абелевой подалгебры, состоящей из полупростых преобразований [6]. Аналогичное строение имеет вообще любая расщепляемая Ли р. а., т. е. конечномерная Ли р. а. над K, каждый элемент хк-рой разлагается. Кроме радикала, в произвольной конечномерной алгебре Ли [img: http://localhost:8080/file/031311-245.jpg] выделяют максимальные разрешимые подалгебры. Если К - алгебраически замкнутое поле характеристики 0, то все такие подалгебры в [img: http://localhost:8080/file/031311-246.jpg] (они иаз. борелевскими) сопряжены. Напр., t(n, К).является борелевской подалгеброй в алгебре Ли всех матриц порядка n. Если Кне является алгебраически замкнутым или char K конечна, то теорема Ли, вообще говоря, не верна. Однако она распространяется на случай, когда Ксовершенно и содержит характеристич. корни всех [img: http://localhost:8080/file/031311-247.jpg] Если это условие выполнено для присоединенного представления Ли p. a. [img: http://localhost:8080/file/031311-248.jpg] то [img: http://localhost:8080/file/031311-249.jpg] наз. треугольной. На треугольные алгебры Ли переносятся многие свойства Ли р. а. над алгебраически замкнутым полем. В частности, если char К=0, то все максимальные треугольные подалгебры в произвольной конечномерной алгебре Ли сопряжены (см. [1], [7]). Максимальные треугольные подалгебры используются при изучении полупростых алгебр Ли над алгебраически незамкнутым полем в качестве хорошего аналога борелевских подалгебр. Они играют также основную роль в описании связных равномерных подгрупп в группах Ли [9].