Ли разрешимая группа

группа Ли, разрешимая как абстрактная группа. В дальнейшем рассматриваются вещественные или комплексные Ли р. г. Нильпотентная, в частности абелева, группа Ли разрешима. Если F={Vi} - полный флаг в конечномерном векторном пространстве V(над [img: http://localhost:8080/file/031311-250.jpg] или [img: http://localhost:8080/file/031311-251.jpg]), то [img: http://localhost:8080/file/031311-252.jpg] является разрешимой алгебраич. подгруппой в GL(v) и, в частности, Ли р. г. Если в Vвыбрать базис, согласованный с флагом F, то в нем элементы группы В(F).представятся невырожденными верхними треугольными матрицами; полученная матричная Ли р. г. обозначается через Т(п, К), где [img: http://localhost:8080/file/031311-253.jpg] Алгебра Ли [img: http://localhost:8080/file/031311-254.jpg] группы Gразрешима тогда и только тогда, когда разрешима связная компонента единицы (G)0 группы G. Алгебрами Ли групп В(F).и Т(п, К).являются соответственно t(F).и t (n, К).(см. Ли разрешимая алгебра). В силу соответствия между подалгебрами в [img: http://localhost:8080/file/031311-255.jpg] и связными подгруппами Ли в G на Ли р. г. переносятся все свойства разрешимой алгебры Ли (см. [1], [3]). Для Ли р. г. справедлив аналог теоремы Ли о разрешимых алгебрах Ли: если [img: http://localhost:8080/file/031311-256.jpg] - конечномерное комплексное представление Ли р. г. G, то существует полный флаг F в F такой, что [img: http://localhost:8080/file/031311-257.jpg] В частности, в Vсуществует общий собственный вектор для всех [img: http://localhost:8080/file/031311-258.jpg] Ли р. г. были впервые рассмотрены С. Ли (S. Lie), предполагавшим, что непрерывные группы могут играть в теории интегрирования в квадратурах дифференциальных уравнений ту же роль, что группа Галуа в теории алгобраич. уравнений. Однако, вообще говоря, группа автоморфизмов дифференциального уравнения тривиальна, и поэтому только для линейных и нек-рых других уравнений в этом направлении получены содержательные результаты. Так, для этих уравнений выразимость решений через квадратуры и экспоненты от них фактически эквивалентна разрешимости соответствующей (матричной) группы Галуа [2]. Если же эта группа нильпотентна, то экспоненты от квадратур в решение не входят. В силу теоремы Леви - Мальцева о разложении в полупрямое произведение произвольной связной односвязной группы Ли Ли р. г. играют существенную роль при изучении произвольных групп Ли. В произвольной связной группе Ли G рассматриваются также максимальные разрешимые подгруппы. Если [img: http://localhost:8080/file/031311-259.jpg] то они наз. борелевскими и сопряжены в группе G. Напр., В(F) - борелевская подгруппа в GL(V). Односвязная Ли р. г. всегда имеет точное конечномерное представление, для неодносвязных это не всегда так. В односвязной Ли р. г. произвольная связная подгруппа замкнута и односвязна [6]. Экспоненциальное отображение [img: http://localhost:8080/file/031312-1.jpg] даже для одно-связной Ли р. г. не обязано быть ни инъективным, ни сюръективным. Ли р. г., для к-рых ехр - диффеоморфизм, наз. экспоненциальными (см. Ли экспоненциальная группа). Односвязная Ли р. г. диффеоморфна [img: http://localhost:8080/file/031312-2.jpg] а произвольная связная Ли р. г.- [img: http://localhost:8080/file/031312-3.jpg] где Т т есть m-мерный тор. Связная линейная Ли р. г. над [img: http://localhost:8080/file/031312-4.jpg] представляется в виде полупрямого произведения [img: http://localhost:8080/file/031312-5.jpg] где К - компактная абелева подгруппа, a S - односвязный нормальный делитель. Алгебраическая связная разрешимая группа над любым полем характеристики О разлагается в полупрямое произведение нормального делителя, состоящего из унипотентных элементов, и абелевой подгруппы, состоящей из полупростых элементов [3]. Для связных Ли р. г. можно определить [4] аналог расщепления Мальцева. Если алгебра Ли связной группы Ли Gтреугольна (над [img: http://localhost:8080/file/031312-6.jpg]), то Gназ. треугольной. Для треугольных групп Ли справедлив аналог Ли теоремы о разрешимых алгебрах. Максимальные связные треугольные подгруппы в произвольной связной группе Ли сопряжены [5]. Связная треугольная группа Ли изоморфна подгруппе в [img: http://localhost:8080/file/031312-7.jpg] и является экспоненциальной группой, если она односвязна.