Ли p-алгебра

ограниченная алгебра Ли,- алгебра Lнад полем kхарактеристики р>0 (или, более общо, над кольцом простой характеристики р>0), снабженная р-отображением [img: http://localhost:8080/file/031308-121.jpg] таким, что выполняются следующие соотношения: [img: http://localhost:8080/file/031308-122.jpg] Здесь [img: http://localhost:8080/file/031308-123.jpg] - внутреннее дифференцирование алгебры L, определяемое элементом [img: http://localhost:8080/file/031308-124.jpg] (оператор присоединенного представления), а [img: http://localhost:8080/file/031308-125.jpg] элемент из L, являющийся линейной комбинацией одночленов Ли [img: http://localhost:8080/file/031308-126.jpg] с xi=х или у для всех i=l,..., р -1. Типичный пример Ли р-а. получается, если рассмотреть произвольную ассоциативную алгебру Анад kкак универсальную алгебру с двумя производными операциями: [img: http://localhost:8080/file/031308-127.jpg] В частности, свойство [img: http://localhost:8080/file/031308-128.jpg] является прямым следствием тождества [img: http://localhost:8080/file/031308-129.jpg] при п=р, когда [img: http://localhost:8080/file/031308-130.jpg] Так как всякая Ли алгебра вложима в подходящим образом выбранную ассоциативную алгебру А с операциями i) - ii) (теорема Пуанкаре - Биркгофа - Витта), то часто х [p] заменяют, с нек-рой долей двусмысленности, на х р. Для всякой Ли p-a. L существует р-универсальная (ограниченная универсальная) обертывающая ассоциативная алгебрa Up(L). Если dimkL=n, то dimkUp(L)=pn. Это же замечание показывает, что для произвольной алгебры Ли имеет смысл говорить о ее наименьшей р-оболочке, или о р-замыкании. Обычная подалгебра Ли М(идеал Ли) в Lназ. р-п одалгеброй (р-и д е а л о м), если [img: http://localhost:8080/file/031308-131.jpg] для всех [img: http://localhost:8080/file/031308-132.jpg] Гомоморфизм [img: http://localhost:8080/file/031308-133.jpg] Ли р-а. лаз. р-гомоморфизмом, коль скоро [img: http://localhost:8080/file/031308-134.jpg] Если при этом К - линейная Ли р-а. над k, то говорят также о р-представлении [img: http://localhost:8080/file/031308-135.jpg] алгебры L. Задание р-структуры [img: http://localhost:8080/file/031308-136.jpg] на алгебре Ли L с базисом {е 1 е 2,...}и нулевым центром Z(L) единственно и вполне определяется заданием образов [img: http://localhost:8080/file/031308-137.jpg] базисных элементов е i. С другой стороны, коммутативная алгебра Ли L, для к-рой всегда, очевидно, [img: http://localhost:8080/file/031308-138.jpg] снабжается р-структурой путем рассмотрения пары [img: http://localhost:8080/file/031308-139.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031308-140.jpg] - произвольное р-полулинейное отображение [img: http://localhost:8080/file/031308-141.jpg] Над алгебраически замкнутым полем kвсякая конечномерная коммутативная Ли р-а. Lразлагается в прямую сумму [img: http://localhost:8080/file/031308-142.jpg] тора [img: http://localhost:8080/file/031308-143.jpg] и нильпотентной подалгебры L1 с тождеством [img: http://localhost:8080/file/031308-144.jpg] для достаточно большого т(см. [1]). Важным источником Ли р-а. служат теория алгебраич. групп, теория формальных групп и теория несепарабельных полей (см. [2]). Алгебра Ли Derk(A).все дифференцирований произвольной алгебры Аявляется р-подалгеброй в Endk(4). Если, в частности, [img: http://localhost:8080/file/031308-145.jpg] натянута на дифференцирования [img: http://localhost:8080/file/031308-146.jpg] с правилом коммутирования [img: http://localhost:8080/file/031308-147.jpg] и р-структурой [img: http://localhost:8080/file/031308-148.jpg] Этот пример простой Ли р-а. послужил поводом к поискам других простых алгебр. Все известные к настоящему времени (1982) конечномерные простые Ли р-а. над алгебраически замкнутым полем kхарактеристики р > 5 исчерпываются алгебрами классич. типа (вместе с пятью исключительными). Это [img: http://localhost:8080/file/031308-149.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031308-150.jpg] и алгебрами картановского типа [img: http://localhost:8080/file/031308-151.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031308-152.jpg] Размерности последних четырех алгебр равны [img: http://localhost:8080/file/031308-153.jpg] соответственно [img: http://localhost:8080/file/031308-154.jpg] и Все эти алгебры определены над простым подполем поля k, так что неизоморфных простых р-алгебр фиксированной размерности - конечное число (как правило, О, 1 или 2). Недоказанная пока (1982) гипотеза, возникшая в связи с работой [3], заключается в том, что других конечномерных простых Ли р-а. в этом случае не существует. При р=2, 3, 5, однако, ситуация заведомо сложнее.