Логицизм

- одно из направлений в основаниях математики, ставящее целью обосновать математику путем сведения ее исходных понятий к понятиям логики. Мысль о сведении математики к логике высказывалась Г. Лейбницем (G. Leibniz, кон. 17 в.). Практическое осуществление логицистич. тезиса было предпринято в кон. 19 - нач. 20 вв. в работах Г. Фреге и Б. Рассела (см. [1], [2]). Взгляд на математику как на часть логики обусловлен тем, что любую математич. теорему в аксиоматич. системе можно рассматривать как нек-рое утверждение о логич. следовании. Остается только все встречающиеся в таких утверждениях константы определить через логич. термины. К концу 19 в. в математике различные виды чисел, включая комплексные, были определены в терминах натуральных чисел и операций над ними. Попытка сведения натуральных чисел к логич. понятиям была предпринята Г. Фреге. В интерпретации Г. Фреге натуральные числа были кардинальными числами нек-рых понятий. Однако система Фреге не свободна от противоречий. Это выяснилось, когда Б. Рассел обнаружил противоречие в канторовой теории множеств (антиномия Рассела), пытаясь свести ее к логике. Обнаруженное противоречие побудило Б. Рассела к пересмотру взглядов на логику, к-рую он сформулировал в виде разветвленной типов теории. Однако построение математики на основе теории типов потребовало принятия аксиом, к-рые неестественно считать чисто логическими. К ним относятся, напр., аксиома бесконечности, к-рая утверждает, что существует бесконечно много индивидов, т. е. объектов наинизшего типа. В целом попытка сведения математики к логике не удалась. Как показал К. Гёдель [3], никакая формализованная система логики не может быть адекватной базой математики.