Локальная дифференциальная геометрия

- часть дифференциальной геометрии, изучающая свойства геометрич. образов, в частности линий и поверхностей, "в малом". Иными словами, строение геометрич. образа изучается в нек-рой малой окрестности произвольной его точки. Пусть в трехмерном евклидовом пространстве Е 3 задана кривая [img: http://localhost:8080/file/031326-43.jpg] своим уравнением [img: http://localhost:8080/file/031326-44.jpg] Изучение этой кривой сводится к нахождению величин, инвариантных относительно группы движений пространства Е 3. Радиус-вектор r точки Мкривой не является инвариантным, но его производные [img: http://localhost:8080/file/031326-45.jpg] инвариантны. Дифференциальной окрестностью n-го порядка точки Мкривой g наз. совокупность всех понятий и свойств, связанных с кривой, к-рые выражаются через первые пвекторов последовательности (*). Так, дифференциальной окрестности 1-го порядка принадлежат понятия касательной к кривой и ее нормальной плоскости. Дифференциальной окрестности 2-го порядка принадлежат понятия кривизны, соприкасающейся плоскости, трехгранника Френе, соприкасающейся окружности кривой. Понятие кручения кривой принадлежит дифференциальной окрестности 3-го порядка. Кривизна и кручение кривой образуют полную систему ее инвариантов в том смысле, что любой инвариант кривой есть функция кривизны и кручения и их производных любых порядков. Аналогично строится локальная теория поверхностей пространства Е 3. Локальная теория кривых и поверхностей пространства Е 3 - это наиболее старая часть Л. д. г., созданная в основном в 18-19 вв. Уже в 19 в. начали появляться различные обобщения этой теории. Одно из таких обобщений связано с понятием однородного пространства. В произвольном дифференциально-геометрическом однородном пространстве G/H можно строить локальную теорию кривых и поверхностей различных размерностей аналогично тому, как это указано выше для пространства Е 3, а именно, как теорию инвариантов основной группы G. В этом направлении наибольшее развитие получили аффинная дифференциальная геометрия и проективная дифференциальная геометрия. Обобщение понятия первой квадратичной формы поверхности пространства Е 3 привело к теории римановых пространств. Локальная теория римановых пространств возникла еще в сер. 19 в. и продолжает развиваться, находя многочисленные приложения. Понятие параллельного перенесения вектора вдоль кривой на поверхности пространства привело к теории пространств аффинной связности. В свою очередь это явилось началом развития общей теории сцязностей.