Локальные когомологии

со значениями в пучке абелевых групп - когомоло-гии со значениями в пучке, носители к-рых содержатся в заданном подмножестве. Пусть X - топологии, пространство, [img: http://localhost:8080/file/031328-21.jpg] - пучок абелевых групп на X, Z - локально замкнутое подмножество в X, т. е. замкнутое подмножество нек-рого открытого в Xподмножества V, тогда через [img: http://localhost:8080/file/031328-22.jpg] обозначают подгруппу в [img: http://localhost:8080/file/031328-23.jpg] состоящую из сечений пучка [img: http://localhost:8080/file/031328-24.jpg] с носителями в Z. Если фиксировать Z, то соответствие [img: http://localhost:8080/file/031328-25.jpg] определяет точный слева функтор из категории пучков абелевых групп на Xв категорию абелевых групп. Значение соответствующего i-го правого производного функтора на пучке [img: http://localhost:8080/file/031328-26.jpg] обозначают через [img: http://localhost:8080/file/031328-27.jpg] и наз. i-й группой локальных когомологий пространства Xсо значениями в [img: http://localhost:8080/file/031328-28.jpg] относительно Z. При этом [img: http://localhost:8080/file/031328-29.jpg] Пусть [img: http://localhost:8080/file/031328-30.jpg] - пучок на X, отвечающий предпуч-ку, к-рый сопоставляет любому открытому подмножеству [img: http://localhost:8080/file/031328-31.jpg] группу [img: http://localhost:8080/file/031328-32.jpg] Соответствие [img: http://localhost:8080/file/031328-33.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031328-34.jpg] является точным слева функтором из категории пучков абелевых групп на Xв нее же. Значение его i-го правого производного функтора на пучке [img: http://localhost:8080/file/031328-35.jpg] обозначается через [img: http://localhost:8080/file/031328-36.jpg] и наз. пучком г'-х локальных когомологий пучка [img: http://localhost:8080/file/031328-37.jpg] относительно Z. Пучок [img: http://localhost:8080/file/031328-38.jpg] ассоциирован с предпучком, сопоставляющим открытому подмножеству [img: http://localhost:8080/file/031328-39.jpg] группу [img: http://localhost:8080/file/031328-40.jpg] Существует спектральная последовательность [img: http://localhost:8080/file/031328-41.jpg] сходящаяся к [img: http://localhost:8080/file/031328-42.jpg] у к-рой [img: http://localhost:8080/file/031328-43.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031328-44.jpg] (см. [2], [3]). Пусть Z - локально замкнутое подмножество в X, Z'- замкнутое подмножество в [img: http://localhost:8080/file/031328-45.jpg] тогда имеют место точные последовательности: [img: http://localhost:8080/file/031328-46.jpg] Если Zесть все X,a Z'- замкнутое подмножество в X, то последовательность (2) дает точную последовательность [img: http://localhost:8080/file/031328-47.jpg] и систему изоморфизмов [img: http://localhost:8080/file/031328-48.jpg] Пучки [img: http://localhost:8080/file/031328-49.jpg] наз. i-ми лакунарными пучками пучка [img: http://localhost:8080/file/031328-50.jpg] и имеют важные приложения к вопросу о продолжении сечений и классов когомологий пучка [img: http://localhost:8080/file/031328-51.jpg] заданных на [img: http://localhost:8080/file/031328-52.jpg] на все X(см. [4]). Если X - локально нётерова схема, [img: http://localhost:8080/file/031328-53.jpg] - квазикогерентный пучок на X, Z - замкнутая подсхема в X, то [img: http://localhost:8080/file/031328-54.jpg] - также квазикогерентные пучки на X. Если [img: http://localhost:8080/file/031328-55.jpg] - когерентный пучок идеалов на X, задающий подсхему Z, то имеют место изоморфизмы [img: http://localhost:8080/file/031328-56.jpg] Важными для приложений являются следующие критерии тривиальности и когерентности пучков локальных когомологий (см. [3], [4]). Пусть X - локально нётерова схема или комплексное аналитич. ространство, Z - локально замкнутая подсхема или аналитич. одпространство в [img: http://localhost:8080/file/031328-57.jpg] - когерентный пучок [img: http://localhost:8080/file/031328-58.jpg] -модулей, [img: http://localhost:8080/file/031328-59.jpg] - когерентный пучок идеалов, задающий Z. Пусть [img: http://localhost:8080/file/031328-60.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031328-61.jpg] -длина максимальной регулярной для [img: http://localhost:8080/file/031328-62.jpg] последовательности элементов из [img: http://localhost:8080/file/031328-63.jpg] или [img: http://localhost:8080/file/031328-64.jpg] если [img: http://localhost:8080/file/031328-65.jpg] Тогда равенство [img: http://localhost:8080/file/031328-66.jpg] для i<n равносильно условию [img: http://localhost:8080/file/031328-67.jpg] Пусть [img: http://localhost:8080/file/031328-68.jpg] (где [img: http://localhost:8080/file/031328-69.jpg] - максимальный идеал колец [img: http://localhost:8080/file/031328-70.jpg]) и пусть [img: http://localhost:8080/file/031328-71.jpg] Если X - комплексное аналитич. пространство или алгебраич. многообразие, то все множества [img: http://localhost:8080/file/031328-72.jpg] являются аналитическими или соответственно алгебраическими. Если при этом [img: http://localhost:8080/file/031328-73.jpg] - когерентный пучок на X,a Z - соответственно аналитич. ространство или подмногообразие, то когерентность пучков [img: http://localhost:8080/file/031328-74.jpg] для [img: http://localhost:8080/file/031328-75.jpg] равносильно условию [img: http://localhost:8080/file/031328-76.jpg] для всякого целого k. В терминах Л. к. определяются гиперфункции, имеющие важные приложения в теории дифференциальных уравнений с частными производными [5]. Пусть Q - открытое подмножество пространства [img: http://localhost:8080/file/031328-77.jpg] к-рое естественным образом вложено в [img: http://localhost:8080/file/031328-78.jpg] Тогда [img: http://localhost:8080/file/031328-79.jpg] Предпучок [img: http://localhost:8080/file/031328-80.jpg] на [img: http://localhost:8080/file/031328-81.jpg] определяет вялый пучок, называемый пучком гиперфункций. Аналог Л. к. существует и в теории этальных когомологий [3].