Лузина - привалова теоремы

в теории функций комплексного переменного - классические результаты Н. Н. Лузина и И. И. Привалова, выясняющие характер граничного единственности свойства аналитич. функций (см. [1]). 1) Пусть f(z) - мероморфная функция комплексного переменного z в односвязной области Dсо спрямляемой границей Г. Если f(z) принимает угловые граничные значения нуль на множестве [img: http://localhost:8080/file/031329-79.jpg] положительной меры Лебега на Г, то [img: http://localhost:8080/file/031329-80.jpg] в D. Не существует мероморфной в Dфункции, имеющей бесконечные угловые граничные значения на каком-либо множестве [img: http://localhost:8080/file/031329-81.jpg] положительной меры. 2) Пусть w=f(z) - мероморфная в единичном круге [img: http://localhost:8080/file/031329-82.jpg] функция, отличная от константы и имеющая радиальные граничные значения (конечные или бесконечные) на множестве Е, расположенном на дуге s единичной окружности [img: http://localhost:8080/file/031329-83.jpg] метрически плотном и второй категории по Бэру на ст. Тогда множество Wее радиальных граничных значений на Есодержит по крайней мере две различные точки. Метрическая плотность E на s означает, что любая порция Ена аимеет положительную меру. Отсюда следует, что если радиальные граничные значения f(z) на множестве Еуказанного типа равны нулю, то [img: http://localhost:8080/file/031329-84.jpg] в D. Далее, не существует мероморфной функции в единичном круге, принимающей бесконечные радиальные граничные значения на множестве Еуказанного типа. Н. Н. Лузин и И. И. Привалов (см. [1], [2]) построили примеры, показывающие, что условия метрич. плотности и 2-й категории по отдельности не являются достаточными для того, чтобы выполнялось утверждение теоремы 2. См. также Граничные свойства аналитических функций, Лузина примеры, Предельное множество, Привалова теорема, Риссов теорема.