Ляпунова стохастическая функция

неотрицательная функция V(t, х), для к-рой пара (V(t, X(t)), Ft) - супермартингал для нек-рого случайного процесса X(t), Ft есть s-алгебра событий, порожденных течением процесса Xдо момента t. Если X(t) - марковский процесс, то Л. с. ф. есть функция, для к-рой стохастич. оператор Ляпунова [img: http://localhost:8080/file/031330-106.jpg] неположителен. Оператор Lесть инфинитезимальный оператор процесса (t, X(t)), и потому проверку условия [img: http://localhost:8080/file/031330-107.jpg] легко осуществить для конкретных случаев. Оператор Lпереходит в обычный оператор Ляпунова [img: http://localhost:8080/file/031330-108.jpg] когда процесс Xдетерминированный, описываемый системой дифференциальных уравнений. С помрщью Л. с. ф. удается проверить те или иные качественные свойства траекторий процесса X(t);их роль в теории случайных процессов аналогична роли классич. Ляпунова функций в теории систем дифференциальных уравнений. Часто Л. с. ф. наз. и такие, для к-рых функция V(t, X(t)).хотя и не является супермартингалом, но с ее помощью легко можно сформировать супермартингал. Ниже приведены типичные результаты качественного поведения траекторий марковских процессов в терминах Л. с. ф. 1) Если X(t) - непрерывный справа строго марковский процесс в [img: http://localhost:8080/file/031330-109.jpg] определенный до момента [img: http://localhost:8080/file/031330-110.jpg] первого выхода из любого компакта, и существуют Л. с. ф. [img: http://localhost:8080/file/031330-111.jpg] и постоянная стакие, что [img: http://localhost:8080/file/031330-112.jpg] то [img: http://localhost:8080/file/031330-113.jpg] для любого [img: http://localhost:8080/file/031330-114.jpg] т. е. процесс Xопределен при всех t>0 (неограниченно продолжаем). 2) Для существования стационарного марковского процесса в [img: http://localhost:8080/file/031330-115.jpg] отвечающего переходной функции Р(t, х, A), достаточно существования функции [img: http://localhost:8080/file/031330-116.jpg] для к-рой [img: http://localhost:8080/file/031330-117.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/031330-118.jpg] С помощью Л. с. ф. на марковские процессы переносятся основные теоремы прямого метода Ляпунова, эти функции нашли применение и для исследования процессов с дискретным временем.