Ляпунова теорема

- 1) Л. т. в теории вероятностей - теорема, устанавливающая весьма общие достаточные условия для сходимости распределений сумм независимых случайных величин к нормальному распределению. Точная формулировка Л. т. такова: пусть независимые случайные величины [img: http://localhost:8080/file/031330-119.jpg] имеют конечные математич. ожидания [img: http://localhost:8080/file/031330-120.jpg] дисперсии [img: http://localhost:8080/file/031330-121.jpg] и абсолютные моменты [img: http://localhost:8080/file/031330-122.jpg] и пусть [img: http://localhost:8080/file/031330-123.jpg] - дисперсия суммы Х 1,..., Х п. Тогда если при нек-ром [img: http://localhost:8080/file/031330-124.jpg] выполнено условие [img: http://localhost:8080/file/031330-125.jpg] то вероятность неравенства [img: http://localhost:8080/file/031330-126.jpg] стремится при [img: http://localhost:8080/file/031330-127.jpg] к пределу [img: http://localhost:8080/file/031330-128.jpg] равномерно относительно всех значений х 1 и х 2. Условие (1) наз. условием Ляпунова. Л. т. была сформулирована и доказана А. М. Ляпуновым (1901) и явилась завершающим этапом исследований П. Л. Чебышева, А. А. Маркова и А. М. Ляпунова по проблеме об условиях приложимости центральной предельной теоремы теории вероятностей. В дальнейшем были установлены условия, расширяющие условие Ляпунова и являющиеся не только достаточными, но и необходимыми. Окончательное решение вопроса в этом направлении было получено С. Н. Бернштейном, Дж. Линдебергом (J. Lindeberg) и В. Феллером (W. Feller). В Л. т. впервые была продемонстрирована сила метода характеристич. функций. А. М. Ляпуновым была также дана оценка сверху при [img: http://localhost:8080/file/031330-129.jpg] для абсолютной величины разности [img: http://localhost:8080/file/031330-130.jpg] между вероятностью неравенства (2) и ее приближенным значением (3). Этой оденке можно придать следующий вид: при [img: http://localhost:8080/file/031330-131.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031330-132.jpg] и при [img: http://localhost:8080/file/031330-133.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031330-134.jpg] где С 1 и С 2 - абсолютные постоянные и [img: http://localhost:8080/file/031330-135.jpg] - дробь (дробь Ляпунова), стоящая под знаком предела в (1). См. также Бэрри - Эссеена неравенство.