Ляпунова характеристический показатель

решения линейной системы - верхний предел [img: http://localhost:8080/file/031331-8.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031331-9.jpg] - решение линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений [img: http://localhost:8080/file/031331-10.jpg] здесь [img: http://localhost:8080/file/031331-11.jpg] - суммируемое на каждом отрезке отображение [img: http://localhost:8080/file/031331-12.jpg] или [img: http://localhost:8080/file/031331-13.jpg] суммируемое на каждом отрезке отображение [img: http://localhost:8080/file/031331-14.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031331-15.jpg] В координатной записи [img: http://localhost:8080/file/031331-16.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031331-17.jpg] - суммируемые на каждом отрезке функции, а [img: http://localhost:8080/file/031331-18.jpg] (или любая другая эквивалентная норма; [img: http://localhost:8080/file/031331-19.jpg] не зависит от выбора нормы в [img: http://localhost:8080/file/031331-20.jpg] или в [img: http://localhost:8080/file/031331-21.jpg]). Теорема Ляпунова. Пусть [img: http://localhost:8080/file/031331-22.jpg] эквивалентно: [img: http://localhost:8080/file/031331-23.jpg] Тогда для всякого решения [img: http://localhost:8080/file/031331-24.jpg] системы (1) Л. х. п. [img: http://localhost:8080/file/031331-25.jpg] - действительное число (т. е. [img: http://localhost:8080/file/031331-26.jpg]). Для Л. х. п. ненулевых решений системы (1) справедливы утверждения: 3) [img: http://localhost:8080/file/031331-27.jpg] существуют линейно независимые решения xi(t), i=1,..., n, системы (1), обладающие свойством: для всяких плинейно независимых решений [img: http://localhost:8080/file/031331-28.jpg] i=1,..., п, системы (1), занумерованных в порядке убывания Л. х. п., т. е. [img: http://localhost:8080/file/031331-29.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/031331-30.jpg] выполняются неравенства [img: http://localhost:8080/file/031331-31.jpg] Фундаментальная система решений [img: http://localhost:8080/file/031331-32.jpg] обладающих этим свойством, наз. нормальной; при этом: а) семейство чисел [img: http://localhost:8080/file/031331-33.jpg] не зависит от выбора нормальной фундаментальной системы [img: http://localhost:8080/file/031331-34.jpg] б) для всякого решения [img: http://localhost:8080/file/031331-35.jpg] системы (1) Л. х. п. [img: http://localhost:8080/file/031331-36.jpg] равен нек-рому [img: http://localhost:8080/file/031331-37.jpg] в) [img: http://localhost:8080/file/031331-38.jpg] Числа [img: http://localhost:8080/file/031331-39.jpg] наз. Л. х. п. системы (1); число [img: http://localhost:8080/file/031331-40.jpg] наз. часто старшим Л. х. п. системы (1). Множество всех Л. х. п. ненулевых решений системы (1) наз. ее с п е к т р о м. Частные с л у ч а и. 1) Система с постоянными коэффициентами (т. е. [img: http://localhost:8080/file/031331-41.jpg]). В этом случае [img: http://localhost:8080/file/031331-42.jpg] равны действительным частям собственных значений оператора А(0) (матрицы [img: http://localhost:8080/file/031331-43.jpg]). 2) Система с периодич. коэффициентами (т. е. [img: http://localhost:8080/file/031331-44.jpg]). В этом случае [img: http://localhost:8080/file/031331-45.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031331-46.jpg] - мультипликаторы системы (1), занумерованные в порядке невозрастания их модулей (каждый берется столько раз, какова его кратность). Роль Л. х. п. в теории устойчивости по Ляпунову основана на следующем утверждении: если [img: http://localhost:8080/file/031331-47.jpg] (>0), то решения системы (1) асимптотически устойчивы (соответственно неустойчивы). Из того, что [img: http://localhost:8080/file/031331-48.jpg] не следует, что нулевое решение системы [img: http://localhost:8080/file/031331-49.jpg] устойчиво по Ляпунову; однако если дополнительно известно, что система (1) правильная линейная система, то такое заключение справедливо (теорема Ляпунова). Пусть система x=B(t)xполучена малым возмущением системы (1), удовлетворяющей условию [img: http://localhost:8080/file/031331-50.jpg] т. е. расстояние между ними, определяемое формулой [img: http://localhost:8080/file/031331-51.jpg] мало. При n>1 отсюда не следует, что величина [img: http://localhost:8080/file/031331-52.jpg] мала (следует, если система (1) имеет постоянные или периодич. коэффициенты, а также для нек-рых других систем); иными словами, функционалы [img: http://localhost:8080/file/031331-53.jpg] не всюду непрерывны на пространстве систем (1) [img: http://localhost:8080/file/031331-54.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031331-55.jpg] наделенном указанной метрикой (2). Л. х. п. введены А. М. Ляпуновым, причем не только для решений системы (1), но и для произвольных функций на [img: http://localhost:8080/file/031331-56.jpg] (см. [1]).