Лёвнера уравнение

- дифференциальное уравнение вида [img: http://localhost:8080/file/031306-114.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031306-115.jpg] - действительная непрерывная на интервале [img: http://localhost:8080/file/031306-116.jpg] функция. Обобщением Л. у. является уравнение Куфарева - Лёвнера (у. К. - Л.): [img: http://localhost:8080/file/031306-117.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031306-118.jpg] - измеримая по tпри фиксированном wи регулярная по wфункция с положительной действительной частью, нормированная условием Р(0, t)=1. Л. у. и у. К.- Л., возникшие в теории однолистных функций, лежат в основе параметрич. метода исследования экстремальных проблем конформного отображения. Решение [img: http://localhost:8080/file/031306-119.jpg] у. К.- Л., рассматриваемое как функция начального значения z, при всяком [img: http://localhost:8080/file/031306-120.jpg] конформно отображает круг [img: http://localhost:8080/file/031306-121.jpg] на однолистную односвязную область, принадлежащую кругу [img: http://localhost:8080/file/031306-122.jpg] По формуле [img: http://localhost:8080/file/031306-123.jpg] при надлежащем выборе Р(w, t).в у. К.- Л. и комплексных постоянных а, b можно получить произвольную регулярную однолистную функцию в круге [img: http://localhost:8080/file/031306-124.jpg] Л. у. порождает на этом пути, в частности, конформные отображения круга на области, получаемые из всей плоскости проведением разреза вдоль нек-рой дуги Жордана (см. [1] - [4]). Дифференциальное уравнение с частными производными [img: http://localhost:8080/file/031306-125.jpg] к-рому удовлетворяет функция [img: http://localhost:8080/file/031306-126.jpg] также называют у. К.- Л. Л. у. было установлено К. Левнером [1]; у. К.- Л. впервые было получено П. П. Куфаревым (см. [5]).