Максимальный идеал

максимальный элемент в частично упорядоченном множестве тех или иных собственных идеалов соответствующей алгебраич. системы. М. и. играют существенную роль в теории колец. Всякое кольцо с единицей обладает левыми (а также правыми и двусторонними) М. и. Фактормодуль M-R/I левого (соответственно правого) Л-модуля Л по левому (соответственно правому) М. и. I является неприводимым; гомоморфизм j кольца Л в тело эндоморфизмов модуля М- представление кольца Л. Ядро всех таких представлений, т. е. множество элементов кольца, переходящих в нуль при всех его представлениях, наз. радикалом Джекоб с она кольца Л, оно совпадает с пересечением всех левых (а также всех правых) М. и. В кольце R = С [ а, b] непрерывных действительных функций на отрезке [ а, b] множество всех функций, обращающихся в нуль в фиксированной точке x0, является М. и. Такими идеалами исчерпываются все М. и. кольца Л. Это соответствие между точками отрезка и М. и. кольца Л привело к построению различных теорий, представляющих кольца, как кольца непрерывных функций на нек-ром топологич. пространстве. Зариского топология, вводимая на множестве простых идеалов Spec Л кольца Л, обладает слабыми свойствами отделимости (т. е. существуют незамкнутые точки). Аналогичная топология в некоммутативном случае вводится на множестве Spec R примитивных идеалов, являющихся аннуляторами неприводимых R-модулей. Множество М. и., а в некоммутативном случае - примитивных М. и., образует подпространство [img: http://localhost:8080/file/031402-56.jpg] к-рое удовлетворяет аксиоме отделимости Т 1.