Максимума модуля принцип

теорема, выражающая одно из основных свойств модуля аналитич. функции. Пусть f(z) - регулярная аналитическая, или голоморфная, функция пкомплексных переменных [img: http://localhost:8080/file/031403-45.jpg] в области Dкомплексного числового пространства [img: http://localhost:8080/file/031403-46.jpg] отличная от константы, [img: http://localhost:8080/file/031403-47.jpg] М. м. п. в локальной форме утверждает, что ни в какой точке [img: http://localhost:8080/file/031403-48.jpg] не может достигаться локальный максимум модуля f(z), т. е. не существует окрестности, V(z0) точки z°, в к-рой выполняется неравенство, [img: http://localhost:8080/file/031403-49.jpg] Если, кроме того, [img: http://localhost:8080/file/031403-50.jpg] то z0 не может быть и точкой локального минимума модуля f(z). Равносильная формулировка М. м. п. в глобальной форме состоит в том, что при тех же условиях модуль аналитич. функции f(z) не может..достигать своей верхней грани [img: http://localhost:8080/file/031403-51.jpg] ни в какой точке [img: http://localhost:8080/file/031403-52.jpg] Следовательно, если f(z) непрерывна в конечной замкнутой области D, то наибольшее значение Мдостигается только в граничных точках области D. Приведенные формулировки М. м. п. сохраняют силу и в том случае, если f(z) - голоморфная функция на связном комплексном (аналитическом) многообразии, в частности на римановой поверхности или на римановой области D. М. м. п. допускает обобщения в различных направлениях. Во-первых, вместо голоморфности f(z) достаточно предположить только, что f(z)=u(z)+iv(z) - (комплексная) гармоническая функция. Другое обобщение связано с тем, что для голоморфной функции f(z) модуль |f(z)| есть логарифмически субгармоническая функция. Если f(z) - ограниченная голоморфная функция в конечной области [img: http://localhost:8080/file/031403-53.jpg] и условие [img: http://localhost:8080/file/031403-54.jpg] выполняется для всех точек [img: http://localhost:8080/file/031403-55.jpg] кроме точек нек-рого множества [img: http://localhost:8080/file/031403-56.jpg] внешней емкости нуль (в пространстве [img: http://localhost:8080/file/031403-57.jpg]), то [img: http://localhost:8080/file/031403-58.jpg] всюду в D. См. также Двух констант теорема, Фрагмена - Линделёфа теорема. М. м. п. обобщается и на голоморфные отображения. Пусть [img: http://localhost:8080/file/031403-59.jpg] - голоморфное отображение области [img: http://localhost:8080/file/031403-60.jpg] впространство [img: http://localhost:8080/file/031403-61.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031403-62.jpg] то, - голоморфные функции в [img: http://localhost:8080/file/031403-63.jpg] - евклидова норма. Тогда ни в какой точке [img: http://localhost:8080/file/031403-64.jpg] функция ||f(z)|| не может достигать локального максимума. М. м. п. справедлив всякий раз, когда выполняется сохранения области принцип.