Мальцева алгебра

м у ф а н г л и е в а алгебра,- линейная алгебра над полем, удовлетворяющая тождествам [img: http://localhost:8080/file/031404-93.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031404-94.jpg] - якобиан элементов х, у, z.M. а. представляют собой естественное обобщение алгебр Ли. Любая М. а. является бинарно лиевой алгеброй. М. а. были введены А. И. Мальцевым [1] и названы им муфанг-лиевыми алгебрами ввиду их связи с аналитич. лупами Муфанг. Касательная алгебра локальной аналитич. лупы Муфанг является М. а. Верно также и обратное: любая конечномерная М. а. над полным нормированным полем характеристики 0 является касательной алгеброй нек-рой локальной аналитич. лупы Муфанг. Имеется тесная связь между М. а. и альтернативными алгебрами (см. Альтернативные кольца и алгебры). Коммутаторная алгебра произвольной альтернативной алгебры, т. е. алгебра, получаемая заменой основного умножения на операцию коммутирования [img: http://localhost:8080/file/031404-95.jpg] является М. а. Всякая простая М. а. характеристики [img: http://localhost:8080/file/031404-96.jpg] либо лиева, либо есть 7-мерная алгебра над своим центроидом. Всякая первичная М. а. (при [img: http://localhost:8080/file/031404-97.jpg]) либо лиева, либо вкладывается в качестве подкольца в подходящую 7-мерную простую алгебру над нек-рым полем. Произвольная полупервичная М. а. (при [img: http://localhost:8080/file/031404-98.jpg]) изоморфно вкладывается в качестве подалгебры в коммутаторную алгебру нек-рой альтернативной алгебры. Вопрос о вложении произвольной М. а. в коммутаторную алгебру альтернативой алгебры открыт (1982). Пусть Z(А) - лиев центр М. а. А: [img: http://localhost:8080/file/031404-99.jpg] Для любого идеала I произвольной полупервичной М. а. А(при [img: http://localhost:8080/file/031404-100.jpg]) [img: http://localhost:8080/file/031404-101.jpg] Свойства алгебраич. М. а. аналогичны свойствам алгебраич. алгебр Ли. В произвольной алгебраич. М. а. (при [img: http://localhost:8080/file/031404-102.jpg]) существует локально конечный радикал, т. е. максимальный локально конечный идеал, факторалгебра по к-рому не содержит локально конечных идеалов. М. а. характеристики [img: http://localhost:8080/file/031404-103.jpg] или р=0, удовлетворяющие n-му условию Энгеля (см. Энгелева алгебра), локально нильпотентны. Различие между М. а. и алгебрами Ли проявляется при переходе от локальной нильпотентности к глобальной. Имеется пример М. а. (р=0), удовлетворяющей 3-му условию Энгеля, разрешимой индекса 2, но не нильпотентной. Для М. а. имеется аналог теоремы Энгеля, играющей большую роль в структурной теории алгебр Ли: М. а., удовлетворяющая условию Энгеля и условию максимальности для подалгебр, нильпотентна. Этот результат справедлив даже в более общем случае - для бинарно лиевых алгебр. Во всякой свободной М. а. (при [img: http://localhost:8080/file/031404-104.jpg]) имеется ненулевой лиев центр. Свободная М. а. (при [img: http://localhost:8080/file/031404-105.jpg]) с тремя и более образующими не является первичной алгеброй. Свободная М. а. (при р=0) с девятью и более образующими содержит тривиальные идеалы. Если Rn - многообразие М. а., порожденное свободной М. а. от побразующих и р=0, то цепочка многообразий [img: http://localhost:8080/file/031404-106.jpg] не стабилизируется ни на каком конечном шаге. Значительно развита теория конечномерных М. а. и их представлений. Основные результаты этой теории аналогичны результатам теории алгебр Ли. Имеются аналоги классич. теорем Ли: если r - расщепляемое представление разрешимой М. а. характеристики 0, то все матрицы r(х).могут быть приведены одновременно к треугольному виду; если r - расщепляемое представление нильпотентной М. а. в пространстве V, то V разлагается в прямую сумму весовых подпространств Va, и все матрицы ограничений операторов r(х).на Va. могут быть приведены одновременно к треугольному виду с числом a(x) на главной диагонали. Следующие результаты аналогичны критериям Кар-тана разрешимости и полупростоты алгебр Ли: если r - точное представление М. а. (р=0).и билинейная форма на А, ассоциированная с представлением r, тривиальна, то алгебра Аразрешима; если r - представление полупростой М. а., то форма следа, ассоциированная с r, невырождена. Если киллингова форма алгебры Аневырождена, то Аполупроста. Любое представление полупростой М. а. с р=0вполне приводимо. Если S - радикал (максимальный разрешимый идеал) М. а. А, N - нильрадикал (максимальный нильпотентный идеал), то для любого дифференцирования Dалгебры А [img: http://localhost:8080/file/031404-107.jpg] Произвольная конечномерная М. а. Ахарактеристики 0 есть прямая сумма (как линейных пространств) своего радикала Sи полупростой подалгебры В, изоморфной факторалгебре алгебры Апо радикалу S, и любые для полупростых фактора сопряжены внутренним автоморфизмом (аналог теоремы Леви - Мальцева - Хариш-Чандра, известной для алгебр Ли).