Марковский стационарный процесс

марковский процесс, являющийся стационарным случайным процессом. М. с. п., отвечающий однородной марковской переходной функции, существует тогда и только тогда, когда существует стационарное начальное распределение m(А), отвечающее этой функции, т. [img: http://localhost:8080/file/031406-208.jpg] Если фазовое пространство процесса X - конечное множество, то стационарное начальное распределение существует всегда, независимо от того, рассматривается процесс с дискретным (t=0,1, 2,...) или непрерывным временем. Для процесса с дискретным временем и счетным множеством Xусловие существования Стационарного распределения найдено А. Н. Колмогоровым [1]: для этого необходимо и достаточно, чтобы нашелся такой класс сообщающихся состояний [img: http://localhost:8080/file/031406-209.jpg] что математич. ожидание времени попадания из [img: http://localhost:8080/file/031406-210.jpg] в [img: http://localhost:8080/file/031406-211.jpg] было конечно для любых [img: http://localhost:8080/file/031406-212.jpg] Этот критерий обобщается на строго марковские процессы с произвольным фазовым пространством X:для существования стационарного процесса достаточно, чтобы существовал компакт [img: http://localhost:8080/file/031406-213.jpg] такой, что математич. ожидание времени достижения Киз хконечно для всех [img: http://localhost:8080/file/031406-214.jpg] Справедливо следующее достаточное условие существования М. с. п. в терминах Ляпунова стохастических функций:если существует функция [img: http://localhost:8080/file/031406-215.jpg] для к-рой [img: http://localhost:8080/file/031406-216.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/031406-217.jpg] то М. с. п., отвечающий марковской переходной функции [img: http://localhost:8080/file/031406-218.jpg] существует. В случае, когда стационарное начальное распределение m единственно, соответствующий стационарный процесс эргодичен. В этом случае среднее по Чезаро переходных вероятностей слабо сходится к m. При нек-рых дополнительных условиях [img: http://localhost:8080/file/031406-219.jpg] Стационарное начальное распределение удовлетворяет уравнению Фоккера - Планка - Колмогорова L*m=0, где L* - оператор, сопряженный к инфинитезимальному оператору процесса. Напр., для диффузионных процессов L* - сопряженный оператор к производящему дифференциальному оператору процесса. В этом случае mимеет плотность р, относительно лебеговой меры, удовлетворяющую уравнению L*p=0. Для одномерного случая это уравнение решается в квадратурах.