Мартина граница

в теории потенциала - идеальная граница Грина пространстваW (см. также Кольцевая граница), позволяющая построить характеристич. представление положительных гар-монич. функций на W. Пусть W - локально компактное, но не компактное топологич. пространство, Ф - семейство непрерывных функций [img: http://localhost:8080/file/031407-15.jpg] Теорема Констант инеску - Корня [2] утверждает, что существует единственное с точностью до гомеоморфизма компактное пространство [img: http://localhost:8080/file/031407-16.jpg] со следующими свойствами: 1) W есть подпространство [img: http://localhost:8080/file/031407-17.jpg] всюду плотное в [img: http://localhost:8080/file/031407-18.jpg] 2) каждая функция [img: http://localhost:8080/file/031407-19.jpg] __ непрерывно продолжается на [img: http://localhost:8080/file/031407-20.jpg] до функции [img: http://localhost:8080/file/031407-21.jpg] разделяющей точки идеальной границы [img: http://localhost:8080/file/031407-22.jpg] пространства W относительно семейства Ф; 3) W есть открытое множество в [img: http://localhost:8080/file/031407-23.jpg] Пусть теперь W - ограниченная область евклидова пространства [img: http://localhost:8080/file/031407-24.jpg] или, вообще, пространство Грина; G=G(x, у) - Грина функцияW с полюсом [img: http://localhost:8080/file/031407-25.jpg] точка [img: http://localhost:8080/file/031407-26.jpg] фиксирована. Пространство Мартина, или к о м п а к т и ф и к а ц и я Мартина, [img: http://localhost:8080/file/031407-27.jpg] области Wполучается по теореме Константи-неску - Корня в том случае, если в качестве семейства Ф принимается [img: http://localhost:8080/file/031407-28.jpg] причем, по определению, К(х 0, y0)=l. M. г.- это соответствующая идеальная граница [img: http://localhost:8080/file/031407-29.jpg] Топология Мартина Г - это топология пространства Мартина [img: http://localhost:8080/file/031407-30.jpg] Пространства Мартина [img: http://localhost:8080/file/031407-31.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031407-32.jpg] соответствующие выбору различных точек [img: http://localhost:8080/file/031407-33.jpg] гомеоморфны между собой. Функция [img: http://localhost:8080/file/031407-34.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031407-35.jpg] являющаяся продолжением К(х, у),- гармоническая по уи непрерывная по совокупности переменных (x, у); [img: http://localhost:8080/file/031407-36.jpg] - метризуемое пространство. Основная теорема Мартина [1] утверждает: класс всех положительных гармонич. функций [img: http://localhost:8080/file/031407-37.jpg] на W. характеризуется представлением Мартина: [img: http://localhost:8080/file/031407-38.jpg] где m - нек-рая положительная мера Радона на [img: http://localhost:8080/file/031407-39.jpg] В представлении (*) мера m, определяется по, функции и. неоднозначно. Гармонич. функция [img: http://localhost:8080/file/031407-40.jpg] наз. минимальной в W, если каждая гармонич. функция wтакая, что [img: http://localhost:8080/file/031407-41.jpg] в W, пропорциональна v. Минимальные гармонич. функции [img: http://localhost:8080/file/031407-42.jpg] пропорциональны [img: http://localhost:8080/file/031407-43.jpg] соответствующие точки [img: http://localhost:8080/file/031407-44.jpg] наз. минимальными, множество всех минимальных точек [img: http://localhost:8080/file/031407-45.jpg] наз. минимальной границей Мартина. Подчиняя меру m в (*) дополнительному условию, чтобы она была сосредоточена на [img: http://localhost:8080/file/031407-46.jpg] получают к а н о-ническое представление Мартина: [img: http://localhost:8080/file/031407-47.jpg] в к-ром мера [img: http://localhost:8080/file/031407-48.jpg] определяется по иоднозначно. Примеры. 1) Если [img: http://localhost:8080/file/031407-49.jpg] - шар радиуса Rв пространстве [img: http://localhost:8080/file/031407-50.jpg] то [img: http://localhost:8080/file/031407-51.jpg] есть ядро Пуассона, [img: http://localhost:8080/file/031407-52.jpg] совпадаете евклидовым замыканием, [img: http://localhost:8080/file/031407-53.jpg] М. г. [img: http://localhost:8080/file/031407-54.jpg] есть сфера [img: http://localhost:8080/file/031407-55.jpg] все точки к-рой минимальные. Представление (*) в этом случае сводится к формуле Пуассона - Герглотца (см. Интегральное представление аналитической функции, Пуассона интеграл). 2).М. г. [img: http://localhost:8080/file/031407-56.jpg] совпадает с евклидовой границей [img: http://localhost:8080/file/031407-57.jpg] всякий раз, когда Г есть достаточно гладкая гиперповерхность в [img: http://localhost:8080/file/031407-58.jpg] 3) Если W - односвязная плоская область, то М. г. D совпадает с множеством граничных элементов, или простых концов по Каратеодори. Таким образом, элементы М. г. [img: http://localhost:8080/file/031407-59.jpg] можно рассматривать как обобщение понятия простых концов для размерностей [img: http://localhost:8080/file/031407-60.jpg]