Мартингал

- стохастическая последовательность [img: http://localhost:8080/file/031407-61.jpg] заданная на вероятностном пространстве [img: http://localhost:8080/file/031407-62.jpg] с выделенным на нем неубывающим семейством s-алгебр [img: http://localhost:8080/file/031407-63.jpg] такая, что [img: http://localhost:8080/file/031407-64.jpg] Xt являются Ft -измеримыми и [img: http://localhost:8080/file/031407-65.jpg] (с вероятностью 1, или почти наверное). В случае дискретного времени T={1, 2,...}, в случае непрерывного времени [img: http://localhost:8080/file/031407-66.jpg] Родственными понятиями являются стохастич. последовательности, образующие субмартингал, для к-рых [img: http://localhost:8080/file/031407-67.jpg] и супермартингал, для к-рых [img: http://localhost:8080/file/031407-68.jpg] Пример 1. Если [img: http://localhost:8080/file/031407-69.jpg] - последовательность независимых случайных величин с [img: http://localhost:8080/file/031407-70.jpg] то X = (Х n, Fn).с [img: http://localhost:8080/file/031407-71.jpg] является М., [img: http://localhost:8080/file/031407-72.jpg] Пример 2. Пусть Y=(Yn, Fn) - М. (субмартингал), V=(Vn, Fn) - нек-рая предсказуемая последовательность (т. е. Vn являются не только Fn -измеримыми, но и Fn-1 -измеримыми, [img: http://localhost:8080/file/031407-73.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031407-74.jpg] Тогда если величины (VY)Fn интегрируемы, то стоха-стич. последовательность ((VY)n-1, Fn)образует М. (субмартингал). В частности, если [img: http://localhost:8080/file/031407-75.jpg] - последовательность независимых случайных величин, соответствующих схеме Бернулли [img: http://localhost:8080/file/031407-76.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031407-77.jpg] то((VY)n, Fn).образует М. Эта стохастич. последовательность служит математич. моделью игры, в к-рой игрок выигрывает единицу капитала, если xk=+1, и проигрывает единицу, если xk=-1, a Vk - величина его ставки в k-й партии. Игровой смысл функции Vk, определяемой равенством (2), состоит в том, что игрок увеличивает ставку вдвое при проигрыше п прекращает игру при первом выигрыше. Такая система игры в игровой практике носит название М., что н послужило причиной возникновения математич. термина "мартингал". Один из основных фактов теории М. состоит в том, что структура М. (субмартингалов) Х=(Xt, Ft).сохраняется при случайной замене времени. Точная формулировка этого факта (называемого теоремой о преобразовании свободного выбора) состоит в следующем: если t1 и t2 - два конечных марковских момента, [img: http://localhost:8080/file/031407-78.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031407-79.jpg] то [img: http://localhost:8080/file/031407-80.jpg] (с вероятностью 1, или почти наверное), где [img: http://localhost:8080/file/031407-81.jpg] В качестве частного случая отсюда следует Вальда тождество: [img: http://localhost:8080/file/031407-82.jpg] К числу основных результатов теории М. относятся неравенства Дуба: если Х=(Х n, Fn) - неотрицательный субмартингал, [img: http://localhost:8080/file/031407-83.jpg] то [img: http://localhost:8080/file/031407-84.jpg] Если Х=Х=(Х n, Fn) - М., то для случая p>1 справедливы неравенства Буркхольдера (обобщающие неравенства Хинчина и Марцинкевича - Зигмунда для сумм независимых случайных величин): [img: http://localhost:8080/file/031407-85.jpg] где А р и В р - нек-рые универсальные константы (не зависящие от Xи от п). в качестве к-рых можно взять [img: http://localhost:8080/file/031407-86.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031407-87.jpg] С учетом (5) из (7) следует, что (р>1) [img: http://localhost:8080/file/031407-88.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031407-89.jpg] На случай р=1 обобщаются неравенства (8). Именно, имеют место неравенства Дэвиса: существуют такие универсальные постоянные Аи В, что [img: http://localhost:8080/file/031407-90.jpg] Для доказательства разного рода теорем о сходимости субмартпнгалов с вероятностью единица ключевую роль играет неравенство Дуба для математического ожидания [img: http://localhost:8080/file/031407-91.jpg] числа пересечений bn(a, b).субмартингалов Х=(Х п, Fn).интервала [ а, b]снизу вверх за пшагов [img: http://localhost:8080/file/031407-92.jpg] Основной результат о сходимости субмартингалов содержится в теореме Дуба: если Х=(Х п, Fn) - субмартингал и sup [img: http://localhost:8080/file/031407-93.jpg] то с вероятностью единица существует [img: http://localhost:8080/file/031407-94.jpg] Если субмартингал Xравномерно интегрируемый, то помимо сходимости с вероятностью единица имеет место и сходимость в смысле L1 т. е. [img: http://localhost:8080/file/031407-95.jpg] Следствием этого результата является теорема Леви о непрерывности условных математических ожиданий: если [img: http://localhost:8080/file/031407-96.jpg] то [img: http://localhost:8080/file/031407-97.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031407-98.jpg] Естественным обобщением М. является понятие локального мартингала, т. е. такой стохастич. последовательности Х=(Х t, Ft), для к-рой найдется последовательность [img: http://localhost:8080/file/031407-99.jpg] конечных марковских моментов, [img: http://localhost:8080/file/031407-100.jpg] (с вероятностью 1 или почти наверное), [img: http://localhost:8080/file/031407-101.jpg] таких, что для каждого [img: http://localhost:8080/file/031407-102.jpg] "остановленные" последовательности [img: http://localhost:8080/file/031407-103.jpg] являются М. В случае дискретного времени каждый локальный М. Х=(Х п, Fn)есть мартингал ь-ное преобразование, т. е. представим в виде Х п=(VY) п, где V - нек-рая предсказуемая последовательность, а Y - нек-рый М. Каждый субмартингал Х=(Х t, Ft)допускает и притом единственное разложение Дуба - Мейера Х t=Mt+At, где M=(Mt,Ft) - M., a А=(At, Ft).-предсказуемый процесс. В частности, если m=(mt, Ft) - квадратично-интегрируемый М., то его квадрат [img: http://localhost:8080/file/031407-104.jpg] является субмартингалом, для к-рого в его разложении Дуба - Мейера [img: http://localhost:8080/file/031407-105.jpg] процесс <m>=(<m>t, Ft).наз. квадратической характеристикой мартингала т. Для каждого квадратично-интегрируемого М. ти предска- зуемого процесса V=(Vt, Ft).таких, что [img: http://localhost:8080/file/031407-106.jpg] (с вероятностью 1, или почти наверное), t> 0, можно определить стохастич. интеграл [img: http://localhost:8080/file/031407-107.jpg] к-рый является локальным М. В случае винеровского процесса W=(Wt, Ft), являющегося квадратично-интегрируемым М., <m>t=t и стохастич. интеграл (VW)t есть не что иное, как стохастич. интеграл Ито по винеровскому процессу, В случае непрерывного времени неравенства Дуба, Буркхольдера и Дэвиса также остаются в силе (для процессов непрерывных справа и имеющих пределы слева).