Марцинкевича пространство

банахово пространство My всех измеримых на полуоси [img: http://localhost:8080/file/031407-108.jpg] функций (классов) с конечной нормой [img: http://localhost:8080/file/031407-109.jpg] где х*(s) - перестановка функции x(t), т. е. невозрастающая непрерывная слева функция, равноизме-рпмая с |x(t)|, а y(t)- нек-рая положительная неубывающая на [img: http://localhost:8080/file/031407-110.jpg] функция, для к-рой y(t)/t не возрастает (в частности, y(t).- неубывающая вогнутая функция); введено И. Марцинкевичем [1]. Если y(t) ограничена снизу и сверху положительными константами, то пространство My изоморфно L1. Во всех других случаях оно не сепарабельно. Пространство My является интерполяционным между L1 и [img: http://localhost:8080/file/031407-111.jpg] с интерполяционной константой 1. На пространстве My определен функционал [img: http://localhost:8080/file/031407-112.jpg] к-рый всегда не превосходит [img: http://localhost:8080/file/031407-113.jpg] Функционал F(х).не обладает свойствами нормы; он эквивалентен норме [img: http://localhost:8080/file/031407-114.jpg] тогда и только тогда, когда при s>1 [img: http://localhost:8080/file/031407-115.jpg] (в частности, для [img: http://localhost:8080/file/031407-116.jpg]). Пространство My возникло впервые в интерполяционной теореме Марцинкевича (с функционалом F(х)).и связано с интерполированием операторов слабого типа. Оно обладает экстремальным свойством: является наиболее широким среди всех симметричных пространств Е, для к-рых фундаментальная функция совпадает с h/y(h), т. е. [img: http://localhost:8080/file/031407-117.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031407-118.jpg] - характеристич. функция интервала (0, h). Если [img: http://localhost:8080/file/031407-119.jpg] то My изоморфно (изометрично, если y вогнута) сопряженному пространству к пространству Лоренца с нормой [img: http://localhost:8080/file/031407-120.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031407-121.jpg] - наименьшая вогнутая мажоранта y(s). При условиях (2) в My выделяется подпространство [img: http://localhost:8080/file/031407-122.jpg] состоящее из всех функций из My, для к-рых [img: http://localhost:8080/file/031407-123.jpg] Если, кроме того, [img: http://localhost:8080/file/031407-124.jpg] то подпространство [img: http://localhost:8080/file/031407-125.jpg] совпадает с замыканием в My множества всех финитных ограниченных функций. При этом сопряженное к пространству [img: http://localhost:8080/file/031407-126.jpg] изоморфно пространству Лоренца н, следовательно, My изоморфно второму сопряженному пространству к [img: http://localhost:8080/file/031407-127.jpg] Если [img: http://localhost:8080/file/031407-128.jpg] - пространство, на s-алгебре измеримых множеств к-рого определена s-конечная мера m, то для каждой измеримой функции х(т).определена ее перестановка [img: http://localhost:8080/file/031407-129.jpg] так что можно ввести М. п.. [img: http://localhost:8080/file/031407-130.jpg] с нормой (1).