Математическое ожидание

среднее значение, случайной величины - числовая характеристика распределения вероятностей случайной величины. Самым общим образом М. о. случайной величины Х(w), [img: http://localhost:8080/file/031413-55.jpg] определяется как интеграл Лебега по отношению к вероятностной мере [img: http://localhost:8080/file/031413-56.jpg] в исходном вероятностном пространстве [img: http://localhost:8080/file/031413-57.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031413-58.jpg] М. о. может быть вычислено и как интеграл Лебега от хпо распределению вероятностей Р Х величины X: [img: http://localhost:8080/file/031413-59.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031413-60.jpg] - множество всех возможных значений X. М. о. функций от случайной величины Xвыражается через распределение Р Х:напр., если X - случайная величина со значениями в [img: http://localhost:8080/file/031413-61.jpg] и f(x) - однозначная бо-релевская функция х, то [img: http://localhost:8080/file/031413-62.jpg] Если F(x) - функция распределения X, то М. о. представимо интегралом Лебега - Стилтьеса (или Римана - Стилтьеса) [img: http://localhost:8080/file/031413-63.jpg] при этом интегрируемость Xв смысле (*) равносильна конечности интеграла [img: http://localhost:8080/file/031413-64.jpg] В частных случаях, если Xимеет дискретное распределение с возможными значениями х k, k=1, 2,..., и соответствующими вероятностями [img: http://localhost:8080/file/031413-65.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031413-66.jpg] то [img: http://localhost:8080/file/031413-67.jpg] если Xимеет абсолютно непрерывное распределение с плотностью вероятности р(х), то [img: http://localhost:8080/file/031413-68.jpg] при этом существование М. о. равносильно абсолютной сходимости соответствующего ряда или интеграла. Основные свойства М. о.: а) [img: http://localhost:8080/file/031413-69.jpg] б) ЕС=С для любого действительного С: в) [img: http://localhost:8080/file/031413-70.jpg] для любых действительных a и b; г) [img: http://localhost:8080/file/031413-71.jpg] если сходится ряд [img: http://localhost:8080/file/031413-72.jpg] д) [img: http://localhost:8080/file/031413-73.jpg] для выпуклых функции g(x). е) любая ограниченная случайная величина имеет конечное М. о. Кроме того, ж) [img: http://localhost:8080/file/031413-74.jpg] для взаимно независимых случайных величин X1,..., Х п. Естественным образом можно определить понятие случайной величины с бесконечным М. о. Типичным примером служат времена возвращения в нек-рых случайных блужданиях (см., напр., Бернулли блуждание). С помощью М. о. определяются многие числовые и функциональные характеристики распределения (как М. о. соответствующих функций от случайной величины), напр, производящая функция, характеристическая функция, моменты любого порядка, в частности дисперсия, ковариация. М. о. есть характеристика расположения значений случайной величины (среднее значение ее распределения). В этом качестве М. о. служит нек-рым "типичным" параметром распределения и его роль аналогична роли статич. момента - координаты центра тяжести распределения массы - в механике. От прочих характеристик расположения, с помощью к-рых распределение описывается в общих чертах,- медиан, мод, М. о. отличается тем большим значением, к-рое оно и соответствующая ему характеристика рассеяния - дисперсия - имеют в предельных теоремах теории вероятностей. С наибольшей полнотой смысл М. о. раскрывается больших чисел законом (см. также Чебышева неравенство)и больших чисел усиленным законом. В частности, для последовательности взаимно независимых и одинаково распределенных случайных величин [img: http://localhost:8080/file/031407-146.jpg] с конечными М. о. [img: http://localhost:8080/file/031407-147.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/031407-148.jpg] для любого [img: http://localhost:8080/file/031407-149.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031407-150.jpg] и, более того, [img: http://localhost:8080/file/031407-151.jpg] с вероятностью единица. Понятие М. о. как ожидаемого значения случайной величины впервые наметилось в 18 в. в связи с теорией азартных игр. Первоначально термин "М. о." был введен как ожидаемый выигрыш игрока, равный [img: http://localhost:8080/file/031407-152.jpg] для возможных выигрышей [img: http://localhost:8080/file/031407-153.jpg] и соответствующих вероятностей [img: http://localhost:8080/file/031407-154.jpg] Особые заслуги в обобщении и использовании понятия М. о. в современном его значении имеет П. Л. Чебышев.