Матриц алгебра

матричная алгебра,- подалгебра полной матричной алгебры Fn всех [img: http://localhost:8080/file/031408-51.jpg] -матриц над полем F. Операции в Fn определяются следующим образом: [img: http://localhost:8080/file/031408-52.jpg] для [img: http://localhost:8080/file/031408-53.jpg] Алгебра Fn изоморфна алгебре всех эндоморфизмов n-мерного линейного пространства над F. Размерность Fn ' над Fравна n2. Любая ассоциативная алгебра с единицей, размерность к-рой над Fне больше п, изоморфна нек-рой подалгебре в Fn. Ассоциативная алгебра без единицы, размерности меньше пнад F, также изоморфно вкладывается в F п. В силу теоремы Веддерберна алгебра Fn проста, т. е. имеет лишь тривиальные двусторонние идеалы. Центр алгебры Fn состоит из всех скалярных [img: http://localhost:8080/file/031408-54.jpg] -матриц над F. Группа обратимых элементов алгебры Fn есть полная линейная группа [img: http://localhost:8080/file/031408-55.jpg] Каждый автоморфизм hалгебры Fn является внутренним: [img: http://localhost:8080/file/031408-56.jpg] Неприводимая М. а. проста. Если М. а. Аабсолютно неприводима (напр., когда поле Fалгебраически замкнуто), то A = Fn при n>1 (теорема Бёрнсайда). М. а. полупроста тогда и только тогда, когда она вполне приводима. С точностью до сопряженности в Fn имеется единственная максимальная нильпотентная подалгебра - алгебра всех верхних треугольных матриц с нулевой диагональю. В алгебре F п тогда и только тогда имеется коммутативная подалгебра размерности r, когда [img: http://localhost:8080/file/031408-57.jpg] (теорема - Шура). Для поля комплексных чисел С множество классов сопряженных максимальных коммутативных подалгебр алгебры [img: http://localhost:8080/file/031408-58.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/031408-59.jpg] конечно, а при n>6 бесконечно. В алгебре Fn выполняется стандартное тождество степени 2n: [img: http://localhost:8080/file/031408-60.jpg] где S2n- симметрич. группа, и никакое тождество меньшей степени не выполняется.