Матриц кольцо

полное кольцо матриц,- кольцо всех квадратных матриц фиксированного порядка над кольцом R. Кольцо [img: http://localhost:8080/file/031408-61.jpg] -матриц над R обозначается Rn или Mn(R). Всюду ниже R- ассоциативное кольцо с единицей 1. Кольцо Rn изоморфно кольцу End Mвсех эндоморфизмов свободного правого R-модуля М, обладающего га-элементным базисом. Матрица [img: http://localhost:8080/file/031408-62.jpg] - единица в Rn. Ассоциативное кольцо А с единицей 1 тогда и только тогда изоморфно Rn, когда в Аесть множество из n2 элементов [img: http://localhost:8080/file/031408-63.jpg] подчиненное следующим условиям: 1) [img: http://localhost:8080/file/031408-64.jpg] 2) централизатор множества элементов е ij в Аизоморфен кольцу R. Центр кольца Rn совпадает с Z(R)En, где Z(R)- центр R;при n>1 кольцо Rn некоммутативно. Мультипликативная группа кольца Rn (группа всех обратимых элементов) наз. полной линейной группой и обозначается GL(n, R). Матрица из Rn обратима в Rn тогда и только тогда, когда ее столбцы составляют базис свободного правого модуля всех [img: http://localhost:8080/file/031408-65.jpg] -матриц над R. Если R коммутативно, то обратимость матрицы ав Rn равносильна обратимости ее определителя det ав R. Имеет место равенство [img: http://localhost:8080/file/031408-66.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031408-67.jpg] Кольцо Rn тогда и только тогда просто, когда просто R, ибо двусторонние идеалы в Rn имеют вид к n, где к- двусторонний идеал в R. Артиново кольцо тогда и только тогда просто, когда оно изоморфно М. к. над телом (теорема Веддерберна - Артина). [img: http://localhost:8080/file/031408-68.jpg] где J(R) - радикал Джекобсона кольца R. Следовательно, для полупростого кольца R М. к. над R также полупросто. Если R регулярно (т. е. для любого [img: http://localhost:8080/file/031408-69.jpg] в R есть такое b, что аbа=а), то и Rn регулярно. Если R - кольцо с инвариантным базисным числом, т. е. число базисных элементов каждого свободного R-модуля не зависит от выбора базиса, то Rn также кольцо с инвариантным базисным числом. Кольца R и Rn эквивалентны в смысле Мориты (см. Мориты эквивалентность): категория R-модулей эквивалентна категории Rn -модулей. Однако из того, что проективные R-модули свободны, еще не следует, что будут свободны и проективные Rn -модули. Так, если R- поле, а n>1, то существуют несвободные конечно порожденные проективные Rn -модули.