Матричное дифференциальное уравнение

- уравнение, неизвестной в к-ром является функциональная матрица, входящая в уравнение вместе со своей производной. Пусть рассматривается линейное М. д. у. вида [img: http://localhost:8080/file/031408-292.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031408-293.jpg] есть-матрица-функция [img: http://localhost:8080/file/031408-294.jpg] с локально интегрируемыми по Лебегу элементами, и пусть X(t)- абсолютно непрерывное решение уравнения (1), удовлетворяющее условию X(to) - I, I - единичная матрица. Тогда вектор-функция [img: http://localhost:8080/file/031408-295.jpg] является решением линейной системы [img: http://localhost:8080/file/031408-296.jpg] удовлетворяющим условию [img: http://localhost:8080/file/031408-297.jpg]. Обратно, если [img: http://localhost:8080/file/031408-298.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031408-299.jpg] - решение системы (2), удовлетворяющее условию [img: http://localhost:8080/file/031408-300.jpg] то функциональная матрица X(t), столбцами к-рой служат решения [img: http://localhost:8080/file/031408-301.jpg], является решением М. д. у. (1). Если при этом векторы [img: http://localhost:8080/file/031408-302.jpg] линейно независимы, то [img: http://localhost:8080/file/031408-303.jpg] при всех [img: http://localhost:8080/file/031408-304.jpg] Уравнение (1) является частным случаем следующего М. д. у. (возникающего в теории устойчивости) [img: http://localhost:8080/file/031408-305.jpg] Решение М. д. у. (3) с начальным условием [img: http://localhost:8080/file/031408-306.jpg] дается равенством [img: http://localhost:8080/file/031408-307.jpg] где U(t, s)- решение М. д. у. (1) с условием X(s, s)=I, a V(t, s)- решение М. д. у. X' = B(t)Xс условием X(s, s)=I. В различных прикладных задачах (теории стабилизации, оптимального управления, фильтрации управляемых систем и др.) большую роль играет т. н. матричное дифференциальное уравнение Риккати [img: http://localhost:8080/file/031408-308.jpg] Напр., если матричное уравнение Риккати [img: http://localhost:8080/file/031408-309.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031408-310.jpg] означает транспонирование, имеет при [img: http://localhost:8080/file/031408-311.jpg] ограниченное на прямой [img: http://localhost:8080/file/031408-312.jpg] решение [img: http://localhost:8080/file/031408-313.jpg] и для всех [img: http://localhost:8080/file/031408-314.jpg], всех [img: http://localhost:8080/file/031408-315.jpg] и нек-рого [img: http://localhost:8080/file/031408-316.jpg] выполнено неравенство [img: http://localhost:8080/file/031408-317.jpg], то любое решение управляемой системы [img: http://localhost:8080/file/031408-318.jpg] замкнутой обратной связью [img: http://localhost:8080/file/031408-319.jpg] удовлетворяет неравенству [img: http://localhost:8080/file/031408-320.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031408-321.jpg] - евклидова норма в [img: http://localhost:8080/file/031408-322.jpg], а постоянная Мне зависит от s.