Маятника колебаний уравнение

- обыкновенное дифференциальное уравнение вида [img: http://localhost:8080/file/031409-1.jpg] где а- положительная константа. М. к. у. возникает при изучении свободных колебаний в поле тяжести математич. маятника - материальной точки, имеющей одну степень свободы и находящейся на конце нерастяжимого и несжимаемого невесомого подвеса, другой конец к-рого закреплен на шарнире, допускающем вращение маятника в вертикальной плоскости. Неизвестная функция x(t)- это угол отклонения маятника в момент tот нижнего положения равновесия, выраженный в радианах; [img: http://localhost:8080/file/031409-2.jpg] где l- длина подвеса, g- ускорение свободного падения. Уравнение малых колебаний маятника около нижнего положения равновесия имеет вид: [img: http://localhost:8080/file/031409-3.jpg] Качественное изучение М. к. у. производится с помощью закона сохранения энергии, связывающего положение и скорость маятника: [img: http://localhost:8080/file/031409-4.jpg] где E=const - полная энергия маятника. Масштаб времени можно выбрать так, чтобы было a=1. При этом значению полной энергии E<1 соответствует колебательное движение маятника (скорость периодически меняет знак), а значению E>1 соответствует вращательное движение (скорость сохраняет знак). Решение х(t)M. к. у. (*) с начальным условием [img: http://localhost:8080/file/031409-5.jpg] приудовлетворяет соотношению [img: http://localhost:8080/file/031409-6.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031409-7.jpg] где Якоби эллиптическая функцияsn имеет модуль [img: http://localhost:8080/file/031409-8.jpg] Большое прикладное значение имеют уравнения, близкие к М. к. у. Наличие малого трения, зависящего от положения и скорости маятника, приводит к уравнению [img: http://localhost:8080/file/031409-9.jpg] малые колебания маятника с трением описываются уравнением: [img: http://localhost:8080/file/031409-10.jpg] частным случаем к-рого является Ван дер Поля уравнение. Колебание маятника при периодич. изменении длины подвеса (движение качелей) описывается Хилла уравнением, важный частный случай к-рого - Матьё уравнение.