Метрическая размерность

- числовая характеристика компакта, определяемая с помощью покрытия "эталонами меры", число к-рых и определяет М. р. Пусть F- компакт, [img: http://localhost:8080/file/031410-219.jpg] - минимальное число множеств с диаметром, не превосходящим [img: http://localhost:8080/file/031410-220.jpg], необходимое для того, чтобы они покрывали F. Эта зависящая от метрики Fфункция принимает целочисленные значения для всех [img: http://localhost:8080/file/031410-221.jpg] и неограниченно возрастает при [img: http://localhost:8080/file/031410-222.jpg]; она наз. функцией объема F. Метрическим порядком компакта Fназ. число [img: http://localhost:8080/file/031410-223.jpg] Эта величина не является еще топологич. инвариантом. Так, метрич. порядок жордановой дуги с евклидовой метрикой равен 1, а для жордановой дуги, проходящей через совершенно вполне несвязное множество в Rn положительной меры, эта величина равна п. Однако нижняя граница метрич. порядков для всех метрик компакта F(наз. метрической размерностью) равна его Лебега размерности (теорема Понтрягина - Шнирельмана, 1931, см. прил. к [1]).