Метрическая транзитивность

динамической системы [img: http://localhost:8080/file/031410-306.jpg] с (квази) инвариантной мерой [img: http://localhost:8080/file/031410-307.jpg] - свойство системы [img: http://localhost:8080/file/031410-308.jpg], состоящее в том, что любое измеримое подмножество Афазового пространства [img: http://localhost:8080/file/031410-309.jpg], инвариантное относительно [img: http://localhost:8080/file/031410-310.jpg] (в том смысле, что оно совпадает со всеми своими прообразами [img: http://localhost:8080/file/031410-311.jpg]), либо имеет меру нуль, либо с точностью до множества меры нуль совпадает с W. Формально более сильный вариант этого свойства получится, если в определении вместо инвариантных множеств говорить о множествах, инвариантных по mod 0 (такое множество Апри любом t может отличаться от [img: http://localhost:8080/file/031410-312.jpg] на множество меры нуль). Эти два варианта эквивалентны, если m, является [img: http://localhost:8080/file/031410-313.jpg] -конечной и "время" [img: http://localhost:8080/file/031410-314.jpg] пробегает локально компактную группу со счетной базой (см. доказательство для потоков в [1]), но для произвольных групп преобразований это не так (см. пример, приведенный по другому поводу, в [2]). Вместо М. т. говорят также о метрической неразложимости, или эргодичности. Если у данной системы рассматривается несколько (квази) инвариантных мер и m - одна из них, то, вместо того чтобы говорить о М. т. (эргодичности) системы по отношению к мере [img: http://localhost:8080/file/031410-315.jpg], говорят о М. т. (эргодичности) меры m. Разложимость нормированной инвариантной меры m естественно понимать иначе - как возможность представления m в виде [img: http://localhost:8080/file/031410-316.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031410-317.jpg] - нормированные инвариантные меры, отличные от m, и [img: http://localhost:8080/file/031410-318.jpg]. Неразложимость m эквивалентна второму (более сильному) варианту М. т. (см. [2], [3]). Если в Wвведена топология, то при естественных предположениях (см. обсуждение для потоков в [1]) из М. т. следует, что для почти всех [img: http://localhost:8080/file/031410-319.jpg] траектория точки wвсюду плотна (в этом смысле из М. т. следует топологическая транзитивность). Обратное неверно. Начиная с Дж. Неймана [4], получен ряд результатов о разложении неэргодич. систем на эргодич. компоненты. Традиционный в чисто метрич. теории вариант (W- Лебега пространство, соответственно речь идет только об одной (квази) инвариантной мере) см. в [5], [6], [И]. Н. М. Крылов, Н. Н. Боголюбов [7] получили для топологич. потоков и каскадов с компактным метрическим Wболее сильные результаты двоякого рода (см. также [8], [9]): 1) разложение инвариантных нормированных мер, совместимых с топологией, на эргодич. меры; 2) "геометрическая" реализация сразу всех этих разложений посредством эргодических множеств. Относительно обобщения этих результатов на другие группы преобразований известно, что 1) справедливо в более широких предположениях, чем 2) (см. [2], [3]). Имеются также аналогичные результаты для динамич. систем (пока только каскадов и потоков) в подходящих измеримых пространствах и (или) для квазиинвариантных мер (см. [9] - [11]). М. т. разбиения [img: http://localhost:8080/file/031410-320.jpg] пространства с мерой [img: http://localhost:8080/file/031410-321.jpg] - свойство разбиения, [img: http://localhost:8080/file/031410-322.jpg] состоящее в том, что любое измеримое подмножество. [img: http://localhost:8080/file/031410-323.jpg], целиком состоящее из элементов [img: http://localhost:8080/file/031410-324.jpg], либо имеет меру нуль, либо с точностью до множества меры нуль совпадает со всем W. Вместо М. т. говорят также об абсолютной неизмеримости [img: http://localhost:8080/file/031410-325.jpg]. М. т. динамич. системы, образованной группой преобразований, так что траектории образуют разбиение фазового пространства, совпадает с М. т. этого разбиения. Если же преобразования, образующие динамич. систему, необратимы, то ее М. т. тоже сводится к М. т. нек-рого разбиения, хотя оно описывается сложнее: его элемент, содержащий нек-рую точку, состоит из всех ее образов и всех прообразов этих образов.