Метрический изоморфизм

пространств с мерой [img: http://localhost:8080/file/031410-326.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031410-327.jpg] - биективное отображение [img: http://localhost:8080/file/031410-328.jpg] при к-ром образы и прообразы измеримых множеств измеримы и имеют ту же меру (здесь [img: http://localhost:8080/file/031410-329.jpg] - нек-рая булева [img: http://localhost:8080/file/031410-330.jpg] -алгебра или [img: http://localhost:8080/file/031410-331.jpg] -кольцо подмножеств пространства [img: http://localhost:8080/file/031410-332.jpg], называемых измеримыми, а [img: http://localhost:8080/file/031410-333.jpg] - заданная на [img: http://localhost:8080/file/031410-334.jpg] мера). Волее общее понятие - (метрический) гомоморфизм этих пространств, т. е. такое отображение [img: http://localhost:8080/file/031410-335.jpg] что прообразы измеримых множеств измеримы и имеют ту же меру. При [img: http://localhost:8080/file/031410-336.jpg] вместо изоморфизма или гомоморфизма говорят о (метрическом) автоморфизме или эндоморфизме. В соответствии с обычной в теории меры тенденцией пренебрегать множествами меры нуль вводятся (и преимущественно используются) варианты всех этих понятий "по mod 0". Напр., пусть [img: http://localhost:8080/file/031410-337.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031410-338.jpg] - М. и.; тогда говорят, что f есть изоморфизм исходных пространств с мерой по mod 0. (Оговорку "по mod 0" часто опускают.) Для ряда объектов, заданных в [img: http://localhost:8080/file/031410-339.jpg] (подмножеств, функций, преобразований, а также их систем), имеет смысл утверждение, что при М. и. f эти объекты переходят друг в друга. Тогда говорят, что f есть М. и. соответствующих объектов. Можно говорить также об их М. и. по mod 0. При этом подразумевается, что при нек-рых [img: http://localhost:8080/file/031410-340.jpg] меры нуль соответствующие объекты [img: http://localhost:8080/file/031410-341.jpg] могут рассматриваться как нек-рые объекты [img: http://localhost:8080/file/031410-342.jpg] в [img: http://localhost:8080/file/031410-343.jpg] (для преобразований это означает, что [img: http://localhost:8080/file/031410-344.jpg] инвариантны относительно этих преобразований, а для подмножеств и функций это имеет смысл при любых [img: http://localhost:8080/file/031410-345.jpg] - надо взять пересечения рассматриваемых подмножеств с [img: http://localhost:8080/file/031410-346.jpg] и ограничения функций на) [img: http://localhost:8080/file/031410-347.jpg] и что f есть М. и. объектов [img: http://localhost:8080/file/031410-348.jpg]. Класс всех метрически изоморфных по mod 0 друг другу объектов называют (метрическим) типом; говорят, что два объекта из этого класса имеют одинаковый тип. С [img: http://localhost:8080/file/031410-349.jpg] ассоциируются гильбертово пространство [img: http://localhost:8080/file/031410-350.jpg], в к-ром дополнительно к обычной структуре гильбертова пространства имеется еще операция обычного перемножения функций (определенная, правда, не всюду, ибо произведение функций из [img: http://localhost:8080/file/031410-351.jpg] не всегда принадлежит [img: http://localhost:8080/file/031410-352.jpg]), и булева s-алгебра с мерой [img: http://localhost:8080/file/031410-353.jpg], получающаяся из [img: http://localhost:8080/file/031410-354.jpg] отождествлением множеств, симметрич. разность к-рых имеет меру нуль (т. е. факторизацией по идеалу, состоящему из множеств меры нуль). М. и. mod 0 f индуцирует, изоморфизм булевых [img: http://localhost:8080/file/031410-355.jpg] -алгебр с мерой [img: http://localhost:8080/file/031410-356.jpg] и унитарный изоморфизм гильбертовых пространств [img: http://localhost:8080/file/031410-357.jpg], к-рый мультипликативен, т. е. переводит произведение (когда оно определено) в произведение образов сомножителей. Если [img: http://localhost:8080/file/031410-358.jpg] - Лебега пространство, то верно и обратное: всякий изоморфизм булевых [img: http://localhost:8080/file/031410-359.jpg] -алгебр с мерой [img: http://localhost:8080/file/031410-360.jpg] или мультипликативный унитарный изоморфизм пространствиндуцируется нек-рым М. и. по mod 0. [img: http://localhost:8080/file/031410-361.jpg]