Метрический тензор

основной тензор, фундаментальный тензор,- поле дважды ковариантного симметрич. тензора [img: http://localhost:8080/file/031410-362.jpg] на n-мерном дифференцируемом многообразии [img: http://localhost:8080/file/031410-363.jpg]. Задание на [img: http://localhost:8080/file/031410-364.jpg] М. т. вводит в касательном к [img: http://localhost:8080/file/031410-365.jpg] в точке [img: http://localhost:8080/file/031410-366.jpg] векторном пространстве [img: http://localhost:8080/file/031410-367.jpg] скалярное произведение [img: http://localhost:8080/file/031410-368.jpg] контравариантных векторов [img: http://localhost:8080/file/031410-369.jpg] определяемое как билинейная функция [img: http://localhost:8080/file/031410-370.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031410-371.jpg] - значение поля gв точке р. В координатной записи: [img: http://localhost:8080/file/031410-372.jpg] Метрика пространства [img: http://localhost:8080/file/031410-373.jpg] с введенным в нем скалярным произведением принимается в бесконечно малом за метрику многообразия [img: http://localhost:8080/file/031410-374.jpg], что выражается в выборе дифференциальной квадратичной формы [img: http://localhost:8080/file/031410-375.jpg] квадратом дифференциала длины дуги кривой [img: http://localhost:8080/file/031410-376.jpg], исходящей из рв направлении [img: http://localhost:8080/file/031410-377.jpg] По ее геометрич. смыслу форму (*) наз. метрической, или первой основной, формой на [img: http://localhost:8080/file/031410-378.jpg], соответствующей М. т. g. Обратно, если на [img: http://localhost:8080/file/031411-1.jpg] задана симметрическая квадратичная форма вида (*), то ей сопоставляется поле дважды ковариантного тензора [img: http://localhost:8080/file/031411-2.jpg] соответствующая метрич. форма к-рого совпадает с g. Таким образом, задание на [img: http://localhost:8080/file/031411-3.jpg] М. т. g равносильно заданию на [img: http://localhost:8080/file/031411-4.jpg] метрики с квадратом линейного элемента вида (*). М. т. полностью определяет внутреннюю геометрию [img: http://localhost:8080/file/031411-5.jpg] Совокупность М. т. gи. определяемых ими метрик подразделяется на два класса - вырожденные метрики, когда [img: http://localhost:8080/file/031411-6.jpg] и невырожденные, когда [img: http://localhost:8080/file/031411-7.jpg]. Многообразие [img: http://localhost:8080/file/031411-8.jpg] с вырожденной метрикой (*) наз. изотропным. Среди невырожденных М. т., в свою очередь, различаются риманов М. т., для к-рого квадратичная форма (*) является положительно определенной, и псевдориманов М. т., когда форма (*) является знакопеременной. Риманова (псев-дориманова) метрика, вводимая на [img: http://localhost:8080/file/031411-9.jpg] через риманов (псевдориманов) М. т., определяет на [img: http://localhost:8080/file/031411-10.jpg] риманову (соответственно псевдориманову) геометрию. Обычно под М. т. без специального на то указания понимается риманов М. т.; но если, рассматривая невырожденный М. т., хотят подчеркнуть, что речь идет именно о римановом, а не псевдоримановом М. т., то об этом М. т. говорят как о собственно римановом М. т. Собственно риманов М. т. может быть введен на любом паракомпактном дифференцируемом многообразии.