Милна метод

- конечноразностный метод решения задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка: [img: http://localhost:8080/file/031411-213.jpg] В М. м. используется конечноразностная формула: [img: http://localhost:8080/file/031411-214.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031411-215.jpg] Для вычисления по этой формуле необходимо каким-либо иным способом найти дополнительное начальное значение [img: http://localhost:8080/file/031411-216.jpg]. М. м. имеет 2-й порядок точности, устойчив по Далквисту, т. е. все решения однородного разностного уравнения [img: http://localhost:8080/file/031411-217.jpg] ограничены равномерно по hпри [img: http://localhost:8080/file/031411-218.jpg] для любого фиксированного отрезка [img: http://localhost:8080/file/031411-219.jpg]. Для устойчивости по Далквисту достаточно, чтобы простые корни характеристич. многочлена левой части разностного уравнения не превосходили по модулю единицы, а кратные -были по модулю строго меньше единицы. В данном случае характеристич. многочлен [img: http://localhost:8080/file/031411-220.jpg] имеет корни [img: http://localhost:8080/file/031411-221.jpg] и, следовательно, удовлетворяет указанному условию устойчивости. Однако при решении систем уравнений [img: http://localhost:8080/file/031411-222.jpg] с матрицей А, имеющей отрицательные собственные значения, происходит быстрый рост вычислительной погрешности. Предсказывающе-исправляющий М. м. использует пару конечноразностных формул: предсказывающую [img: http://localhost:8080/file/031411-223.jpg] и исправляющую [img: http://localhost:8080/file/031411-224.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031411-225.jpg] В качестве приближенного выражения погрешности берется величина [img: http://localhost:8080/file/031411-226.jpg] Дополнительные начальные значения [img: http://localhost:8080/file/031411-227.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031411-228.jpg] вычисляются каким-либо иным способом, напр, методом Рунге - Кутта, имеющим четвертый порядок точности. Метод предложен в [3].