Минимаксное свойство

собственных значений - специального типа соотношения, связывающие собственные значения вполне непрерывного самосопряженного оператора Ас максимальным и минимальным значениями соответствующей ему квадратичной формы (Ах, х). Пусть А- самосопряженный вполне непрерывный оператор в гильбертовом пространстве Н. Спектр оператора Асостоит из конечного или счетного множества действительных собственных значений ln, имеющих единственную предельную точку, равную нулю. Соответствующие ненулевым собственным значениям корневые подпространства состоят из собственных векторов и конечномерны; собственные подпространства, отвечающие различным собственным значениям, взаимно ортогональны; оператор Аимеет полную систему собственных векторов. Спектральное разложение оператора Аимеет вид: [img: http://localhost:8080/file/031411-347.jpg] где li - различные собственные значения, Р i- проекторы на соответствующие собственные подпространства, причем ряд сходится по операторной норме. Норма оператора Асовпадает с максимальным по модулю собственным значением и совпадает с [img: http://localhost:8080/file/031411-348.jpg] при этом максимум достигается на соответствующем собственном векторе. Пусть [img: http://localhost:8080/file/031411-349.jpg] - положительные собственные значения оператора А, причем каждое собственное значение повторяется столько раз, сколько его кратность. Тогда [img: http://localhost:8080/file/031411-350.jpg] где x, yi,..., yn - произвольные ненулевые векторы пространства Н. Аналогичные соотношения справедливы для отрицательных собственных значении [img: http://localhost:8080/file/031411-351.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031411-352.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031411-353.jpg] Соотношения (1) и (2) применяются для нахождения собственных значений интегральных операторов с симметричным ядром. Если Аи В- самосопряженные вполне непрерывные операторы, [img: http://localhost:8080/file/031411-354.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031411-355.jpg] - последовательности их положительных собственных значений, занумерованных в порядке убывания, причем каждое значение повторяется столько раз, какова его кратность, то [img: http://localhost:8080/file/031411-356.jpg]