Минимальная модель

- алгебраическое многообразие с условием минимальности относительно существования бирациональных морфизмов на неособые многообразия. Точнее, пусть В- класс всех бирацио-нально эквивалентных неособых проективных многообразий над алгебраически замкнутым полем k, поля функций к-рых изоморфны заданному конечно порожденному расширению Кнад k. Многообразия из класса Вназ. проективными моделями этого класса, или проективными моделями поля К/k. Многообразие [img: http://localhost:8080/file/031411-402.jpg] наз. относительно минимальной моделью, если всякий бирациональный морфизм [img: http://localhost:8080/file/031411-403.jpg] является изоморфизмом. Иначе говоря, относительно М. м.- это минимальные элементы в Вотносительно частичного порядка, определяемого следующим отношением доминирования: Х 1 доминирует Х 2, если существует бирациональный морфизм [img: http://localhost:8080/file/031411-404.jpg] Если относительно М. м. единственна в В, то она наз. минимальной моделью. В каждом классе бирационально эквивалентных кривых существует единственная (с точностью до изоморфизма) неособая проективная кривая. Так что всякая неособая проективная кривая является М. м. В общем случае, если класс Вне пуст, то в нем существует хотя бы одна относительно М. м. Непустота класса Визвестна (благодаря теоремам о разрешении особенностей) для многообразий любой размерности в характеристике 0 и для многообразий размерности [img: http://localhost:8080/file/031411-405.jpg] в характеристике [img: http://localhost:8080/file/031411-406.jpg] Основные результаты о М. м. алгебраич. поверхностей заключаются в следующих утверждениях. 1) Неособая проективная поверхность Xтогда и только тогда является относительно М. м., когда она не содержит исключительных кривых первого рода (см. Исключительное подмногообразие). 2) Всякая неособая полная поверхность обладает бирациональным морфизмом на относительно М. м. 3) В каждом непустом классе Вбирационально эквивалентных поверхностей, кроме классов рациональных и линейчатых поверхностей, существует (и притом единственная) М. м. 4) Если В- класс линейчатых поверхностей с кривой Срода [img: http://localhost:8080/file/031411-407.jpg] в качестве базы, то все относительно М. м. в Висчерпываются геометрически линейчатыми поверхностями [img: http://localhost:8080/file/031411-408.jpg] 5) Если В- класс рациональных поверхностей, то все относительно М. м. в Висчерпываются проективной плоскостью [img: http://localhost:8080/file/031411-409.jpg] и серией минимальных рациональных линейчатых поверхностей [img: http://localhost:8080/file/031411-410.jpg] для всех целых n>=2. Имеется (см. [6], [7]) обобщение теории М. м. поверхностей на регулярные двумерные схемы. Описаны (см. [2]) М. м. рациональных поверхностей, определенных над произвольным полем. О М. м. для многообразий размерности [img: http://localhost:8080/file/031411-411.jpg] почти ничего не известно (1982).