Минимальная поверхность

- поверхность, у к-рой средняя кривизна Нравна нулю во всех точках. Первые исследования о М. п. восходят к Ж. Лагранжу (J. Lagrange, 1768), к-рый рассмотрел следующую вариационную задачу: найти поверхность наименьшей площади, натянутую на данный контур. Предполагая искомую поверхность задаваемой в виде [img: http://localhost:8080/file/031411-412.jpg] Ж. Лагранж получил, что [img: http://localhost:8080/file/031411-413.jpg] необходимо должна удовлетворять т. н. уравнению Эйлера - Лагранжа [img: http://localhost:8080/file/031411-414.jpg] Позже Г. Монж (G. Monge, 1776) обнаружил, что условие минимальности площади приводит к условию Н=0, и поэтому за поверхностями с H=0 закрепилось название "минимальные". В действительности, однако, нужно различать понятия М. п. и поверхности наименьшей площади, т. к. условие минимальности Н=0 пред ставляет собой лишь необходимое условие минимальности площади, вытекающее из равенства нулю 1-й вариации площади поверхности среди всех поверхностей класса С 2 с заданной границей. Для проверки достижения в указанном классе хотя бы относительного (локального) минимума приходится исследовать 2-ю вариацию площади поверхности. Теория М. п. имеет богатую историю - его занимались почти все крупные математики 19 - 20 вв. Ее задачи стимулировали развитие многих смежных областей математики. Первые общие методы интегрирования уравнения Эйлера - Лагранжа были предложены Г. Монжем (1784) и А. Лежандром (A. Legendre, 1787) в виде т. н. формул Монж а, полученных через комплексные характеристики уравнения (1): [img: http://localhost:8080/file/031411-415.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031411-416.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031411-417.jpg] - комплексные переменные, A(t),..., С 1([img: http://localhost:8080/file/031411-418.jpg]) - голоморфные функции, удовлетворяющие условиям [img: http://localhost:8080/file/031411-419.jpg] Однако эти методы в силу недостаточного еще развития теории функций комплексного переменного долгое время оставались без применения [в 1832 С. Пуассон (S. Poisson) писал, что из формул Монжа трудно извлечь какую-либо пользу, т. к. они усложнены введением комплексных переменных]. Новые результаты о М. п. стали появляться лишь с начала 30-х гг. 19 в. С. Пуассон анонсировал (1832) решение им вариационной задачи Лагранжа в случае, когда край поверхности близок к плоской кривой. Вскоре к известным уже М. п.- катеноиду[Л. Эйлер (L. Euler, 1774), Ж. Мёнье (J. Meusnier, 1776)] и геликоиду (Ж. Мёнье, 1776) - была добавлена третья М. п.- Шерка поверхность (Н. Scherk, 1834). В 1842 Э. Каталан (Е. Catalan) доказал, что геликоид является единственной линейчатой М. п.; в 1844 была поставлена и решена Бъёрлинга задача;в 50-х гг. 19 в. в серии работ О. Бонне (О. Bonnet) были даны новые доказательства известных к тому времени фактов теории М. п. и найдены другие свойства М. п. (единственность катеноида как М. п. вращения, конформность сферич. отображения М. п. и др.). В 1866 были открыты формулы Вейерштрасса: [img: http://localhost:8080/file/031411-420.jpg] представляющие односвязную М. п. S (х, у,z) через голоморфные функции [img: http://localhost:8080/file/031411-421.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031411-422.jpg], определенные в круге или во всей плоскости изменения внутренних изотермических координат [img: http://localhost:8080/file/031411-423.jpg]. Эти формулы эквивалентны или содержат как частные случаи все другие найденные до этого параметрич. представления М. п. [Б. Риман (В. Riemann, 1860), А. Эннепер (А. Епперег, 1864), К. М. Петерсон, 1866, и др.] и дают регулярную М. п. только в случае, когда f и g не имеют общих нулей, а в случае совпадения нулей функций f и g поверхность является т. н. обобщенной М. п. с вырождающейся в общих нулях f и gметрикой [img: http://localhost:8080/file/031411-424.jpg] В этих точках появляются ветвления точки М. п. С помощью формул Вейерштрасса появилась возможность явного построения и изучения многих конкретных М. п., в частности алгебраич. М. п., получаемых при алгебраич. функциях f и g. В 1874 Г. Шварц (Н. Schwarz) получил представление М. п. в изотермич. координатах [img: http://localhost:8080/file/031411-425.jpg] в виде [img: http://localhost:8080/file/031411-426.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031411-427.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031411-428.jpg] - трехмерные векторы с голоморфными компонентами, совпадающими соответственно с [img: http://localhost:8080/file/031411-429.jpg] и единичной нормалью n(u,0) к М. п. При [img: http://localhost:8080/file/031411-430.jpg] эта формула дает решение задачи Бьёрлинга в явном виде и позволяет распространить на М. п. принцип симметрии Шварца. В эти же годы С. Ли (S. Lie, 1878) развил свою интерпретацию формул Монжа, сопоставив каждой М. п. с гармонич. радиус-вектором [img: http://localhost:8080/file/031411-431.jpg] комплексно-аналитич. кривую [img: http://localhost:8080/file/031411-432.jpg] и представив М. п. как поверхность переноса кривой [img: http://localhost:8080/file/031411-433.jpg] и ей комплексно-сопряженной кривой [img: http://localhost:8080/file/031411-434.jpg] что послужило отправной точкой для установления плодотворных связей между теорией М. п. и аналитич. ривых. Таким образом, труды К. Вейерштрасса, С. Ли, Б. Римана, Г. Шварца и др. привели к концу 19 в. к широкому использованию в теории М. п. методов и результатов теории функций комплексного переменного. В своих опытах Ж. Плато (J. Plateau, 1849) пришел к физнч. реализации М. п. в виде мыльных пленок, натянутых на проволочные каркасы различной формы. Его опыты оживили интерес к старой проблеме нахождения М. п. по ее заданному граничному контуру. Эту проблему стали называть Плато задачей. Первые ее решения были получены для различных случаев полигональных контуров, при этом, в частности, была открыта Римана- Шварца поверхность. В 1816 в теории М. п. появилась новая задача Жергонна: найти М. п., если часть ее границы задана, а остальная часть должна располагаться на нек-рой заранее заданной поверхности; эта задача стала наз. задачей о М. п. со свободной границей. Первые результаты по ее решению также относятся к случаям, когда заданная часть границы состоит из отрезков прямых, а остальная ее часть должна находиться на заданных плоскостях (более подробно см. в [1], [2]). С начала 20 в. усилился интерес к изучению М. п. "в целом". Изучалась задача Дирихле для уравнения Эйлера - Лагранжа [А. Корн {А. Когп, 1909), С. Н. Бернштейн, 1900]; была получена Бернштейна теорема о М. п.; вообще с началом работ С. Н. Бернштейна в теорию М. п. вошли методы теории дифференциальных уравнений с частными производными. Г. Либман (Н. Liebmann, 1919) установил связь между М. п. и бесконечно малыми изгибаниями сферы. Венцом достижений 1-й пол. 20 в. в теории М. п. было полное решение задачи Плато, сначала в случае односвязных поверхностей, а затем и для двумерных поверхностей произвольного топологич. типа в евклидовом и римановом пространствй (см. [1] - [5]). Результаты о М. п. были распространены на случай решений более общих вариационных задач (обобщающих вариационную задачу для минимума поверхности), более общих дифференциальных уравнений (обобщающих уравнение Эйлера - Лагранжа для М. п.) и на случай более общего класса поверхностей (напр., с постоянной средней кривизной) (см. [3], [6], [7]). Среди имеющихся результатов и ведущихся исследований по М. п. можно выделить несколько направлений. 1) Внутренняя геометрия М. п. Не для всякого риманова многообразия неположительной кривизны существует изометрич. погружение в евклидово пространство [img: http://localhost:8080/file/031411-435.jpg] в виде нек-рой М. п. Критерий существования М. п. в E3 с данной метрикой заключается в следующей теореме Риччи: для того чтобы данная метрика ds2 была изометрична метрике нек-рой М. п. в [img: http://localhost:8080/file/031411-436.jpg], необходимо и достаточно, чтобы ее кривизна Кбыла неотрицательна, а в точках, где [img: http://localhost:8080/file/031411-437.jpg], метрика [img: http://localhost:8080/file/031411-438.jpg] была евклидова. На основании этого критерия удается охарактеризовать все изгибания М. п., удовлетворяющей условиям теоремы Риччи, в классе всех М. п. из [img: http://localhost:8080/file/031411-439.jpg]. Прежде всего, имея в Е n М. д. F, заданную в изотермич. координатах (и, v)гармонич. функциями [img: http://localhost:8080/file/031411-440.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031411-441.jpg] - голоморфные функции, строят так наз. ассоциированные с Fи друг с другом М. п. Fa. с компонентами радиус-вектора [img: http://localhost:8080/file/031411-442.jpg] Ассоциированные М. п. Fa все оказываются изометричными друг другу, а в случае n=3 их изгибания друг в друга при изменении a. обладают следующим характеристич. свойством: нормали к Fa в соответствующих по изометрии точках параллельны, причем изгибания М. п. [img: http://localhost:8080/file/031411-443.jpg] в классе М. п. исчерпываются семейством ассоциированных с FМ. п.; напр., катеноид и геликоид - две ассоциированные (а значит, изометричные) М. п. с параметрами [img: http://localhost:8080/file/031411-444.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031411-445.jpg] Далее, по данной М. п. Fв [img: http://localhost:8080/file/031411-446.jpg] можно построить изометричную ей М. п. [img: http://localhost:8080/file/031411-447.jpg] с радиус-вектором [img: http://localhost:8080/file/031411-448.jpg] а затем, отправляясь от G, строится нек-рое специальное двухпараметрич. семейство изометричных FМ. п. [img: http://localhost:8080/file/031411-449.jpg]. В итоге оказывается, что если нек-рая М. и. [img: http://localhost:8080/file/031411-450.jpg] удовлетворяет условиям теоремы Риччи, то существует М. п. [img: http://localhost:8080/file/031411-451.jpg], изометричная М, причем: 1) или [img: http://localhost:8080/file/031411-452.jpg] и тогда она входит в семейство ассоциированных с FМ. п.; 2) или [img: http://localhost:8080/file/031411-453.jpg] (и не принадлежит [img: http://localhost:8080/file/031411-454.jpg]) и она входит в упомянутое выше семейство [img: http://localhost:8080/file/031411-455.jpg] Однако уже в [img: http://localhost:8080/file/031411-456.jpg] существуют М. п., метрики к-рых не удовлетворяют условиям теоремы Риччи. Поэтому возникает задача описания всех метрик, порождаемых двумерными М. п. в [img: http://localhost:8080/file/031411-457.jpg] и изгибаний этих М. п.; эта задача также решена с достаточной полнотой в терминах нек-рых классов голоморфных отображений. Имеется также ряд результатов о внутренней характеристике метрик двумерных М. п. в сферах [img: http://localhost:8080/file/031411-458.jpg], [img: http://localhost:8080/file/031411-459.jpg] (см. [8]). Что касается метрик многомерных М. п., то здесь пока нет сколько-нибудь существенно продвинутых результатов, а вопросы единственности и изгибаний М. п. исчерпываются главным образом описанием возможных видов компактных минимальных подмногообразий п-мерной сферы. Изгибания М. п. на поверхности другого внешнего строения также изучены недостаточно полно даже для [img: http://localhost:8080/file/031411-460.jpg]. Другой круг проблем внутренней геометрии М. п. составляют изоперимстрич. неравенства, к-рые, впрочем, в наиболее точных и интересных формах зависят от внешнего строения М. п. (см. [9]). 2)Локальные свойства М. п. Сюда можно отнести результаты об аналитичности М. п. (само определение М. п. требует принадлежности ее лишь классу С 2)и решений ряда вариационных задач, утверждение о том, что достаточно малая область М. п. реализует абсолютный минимум площади среди всех поверхностей с той же границей, что и рассматриваемая область, теоремы об устранимости изолированных или маломощных особенностей решений уравнения М. п. и его обобщений, изучение строения обобщенных М. п. в окрестности их точек ветвления, исследования особенностей М. п. и решений так наз. эллиптических вариационных задач в многомерных евклидовых и рима-новых пространствах (см. [2], [3], [6], [10], [12]). 3) Изучение конкретных М. п. или М. п. при априори заданных свойствах края, плоских сечений, сферич. отображения и т. п. Напр., теорема о выпуклости горизонтальных сечений двусвязной М. п. с выпуклыми горизонтальными краями; теорема о совпадении с катеноидом полной М. п., расположенной между плоскостями [img: http://localhost:8080/file/031411-461.jpg] и имеющей звездные сечения z=const; детальное изуче-ние классич. М. п.- Эннепера, Шерка, Римана - Шварца и др. Особо нужно отметить исследования минимальных конусов в [img: http://localhost:8080/file/031411-462.jpg] приведшие к построению контрпримера для теоремы Бернштейна в [img: http://localhost:8080/file/031411-463.jpg], [img: http://localhost:8080/file/031411-464.jpg] н к нахождению примера нерегулярного решения задачи Плато для гиперповерхностей в [img: http://localhost:8080/file/031411-465.jpg] Конкретные примеры различных М. п. начались изучаться также и в многомерных римановых пространствах (см. [1], [2], [6], [12], [13]). 4) Развитие теории М. п. в [img: http://localhost:8080/file/031411-466.jpg] по аналогии с функциями комплексного переменного в [img: http://localhost:8080/file/031411-467.jpg] Здесь можно назвать результаты о граничных свойствах М. п.- теорема об аналитич. родолжении М. п. через регулярную аналитич. дугу границы, теоремы о гладкости М. п. в зависимости от гладкости ее границы (напр., если граница класса [img: http://localhost:8080/file/031411-468.jpg] то М. п. принадлежит тому же классу); работы по построению для М. п. аналога теории Неванлинны о распределении значений мероморфных функций (см. [2], [6], [13]). 5) Работы об уравнении Эйлера - Лагранжа. Наряду с изучением "в целом" решений этого уравнения и его обобщения для n-мерных М. п. [img: http://localhost:8080/file/031411-469.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031411-470.jpg] (где [img: http://localhost:8080/file/031411-471.jpg] -контравариантные компоненты метрич. тензора [img: http://localhost:8080/file/031411-472.jpg]), большое количество работ посвящено локальному поведению решений уравнения Эйлера - Лагранжа и его обобщения (2). Это - вопросы устранимости особенностей при коразмерностях k=1, существование нерегулярных решений при больших коразмерностях, и особенно - исследование задачи Дирихле. Эту задачу можно по-другому трактовать как задачу Плато по определению М. п. с заданным контуром и с дополнительным условием однозначной проектируемоеЩ М. п. на ту же плоскость, что и граничный контур. Такая трактовка позволяет во многих случаях получать выводы о задаче Дирихле на основании известных результатов о задаче Плато (напр., существование и единственность решения задачи Дирихле в Е 3 для случая выпуклой области Dполучается как следствие одной теоремы Радо о задаче Плато). В общем случае установлено, что для разрешимости задачи Дирихле в коразмерности 1 для любой непрерывной граничной функции необходимо и достаточно, чтобы вектор средней кривизны края дD был направлен внутрь области D(при n=2 это означает выпуклость области D);при этом решение задачи единственно. Что касается невыпуклых областей, то, напр., доказано, что для любой невыпуклой области Dс жордановой границей [img: http://localhost:8080/file/031411-473.jpg] можно найти такую непрерывную функцию [img: http://localhost:8080/file/031411-474.jpg] что для нее соответствующая задача Дирихле будет неразрешимой. В больших коразмерностях задача Дирихле может быть неразрешимой даже для случая, когда область совпадает с шаром в Е n. Задача Дирихле рассматривалась также во внешности области D. Здесь получаются новые факты (напр., теряется единственность решения, не всегда получается разрешимость и т. д.). Имеются также результаты в случае постановки задачи Дирихле с неполными или частично неограниченными граничными значениями (см. [2], [6]-[8], [14]). 6) Полные М. п. Под полными М. п. понимаются М. п., полные как метрич. пространства относительно своей внутренней метрики. Полные М. п. бывают компактные (без границы) и некомпактные, или открытые. В исследованиях полных М. п. интерес направлен главным образом на изучение связей, существующих между глобальными метрич., геометрич. и топологич. свойствами поверхностей. Наиболее продвинуто изучение двумерных полных М. п. в [img: http://localhost:8080/file/031412-1.jpg] для к-рых большинство результатов получается применением методов теории функций комплексного переменного. В частности, показано существование в Е 3 полной М. п. любого заранее заданного рода g и связности k;получены теоремы о связях между интегральной кривизной [img: http://localhost:8080/file/031412-2.jpg] и топологическим и конформным типами полной М. п. (напр., [img: http://localhost:8080/file/031412-3.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031412-4.jpg] - эйлерова характеристика поверхности, к - число компонент ее границы; если [img: http://localhost:8080/file/031412-5.jpg] то поверхность Sконформно эквивалентна римановой поверхности с конечным числом выколотых точек, если полная М. п. S бесконечно связна или конформно гиперболич. типа, то ее интегральная кривизна бесконечна, и нормали к Sпринимают все направления бесконечное число раз, за возможным исключением множества направлений нулевой емкости, и т. д.); изучена структура сферич. отображения (напр., полная М. п. в Е 3 есть или плоскость, или ее сферич. образ не содержит, самое большее, множество емкости нуль, полная М. п. в Е 3, [img: http://localhost:8080/file/031412-6.jpg], является либо плоскостью, либо ее образ при обобщенном сферич. отображении пересекается со всюду плотным множеством гиперплоскостей, для любого [img: http://localhost:8080/file/031412-7.jpg] в Е 3 существуют полные М. п., сферич. образ к-рых не содержит ровно пзаранее заданных точек, и т. д.); найдены поверхности, полностью определяемые их интегральной кривизной и топологич. типом (это катеноид и Эннепера поверхность);показана внешняя неограниченность в [img: http://localhost:8080/file/031412-8.jpg] полных М. п. с ограниченной интегральной кривизной. Результаты о компактных М. п. относятся в основном к полным М. п., расположенным в сферах [img: http://localhost:8080/file/031412-9.jpg] Интерес именно к этим М. п. объясняется, помимо трудностей случая общего риманова пространства, еще и наличием важных связей между минимальными конусами в Е п+1 и М. п. в Sn (каждый гиперконус в Е п+1, определяемый своей вершиной Ои пересечением со сферой Sn с центром в О, является минимальным тогда и только тогда, когда его пересечение с Sn будет М. п. в Sn). Исследуемые здесь вопросы в основном те же, что и для полных М. п. в Е п. Напр., показано, что любое компактное двумерное многообразие, за, исключением проективной плоскости, может быть реализовано в виде полной М. п. в S3;в S3 получен аналог теоремы Бернштейна: если нормали к полной М. п. лежат в открытой полусфере, то эта М. п. совпадает с экваториальной гиперсферой; найдены и другие признаки совпадения полной М. п. в Sn с гиперсферой, исследованы возможные виды и вопросы единственности полных М. п. в Sn в зависимости от величины их скалярной кривизны и т. д. (см. [2], [6], [8], [13]). 7) Построение различного рода обобщений М. п., а также уравнений и вариационных задач, решения к-рых сохраняют свойства М. п., здесь к классич. теории М. п. непосредственно примыкают работы о поверхностях с заданной средней кривизной, с квазиконформным сферич. отображением, работы о квазилинейных эллиптич. уравнениях со многими свойствами уравнения Эйлера - Лагранжа двух и большего числа переменных; более далекие обобщения сделаны в теориях, связывающих М. п. с множествами, минимизирующими интегральные потоки или различные меры Хаусдорфа, и т. п. (см. [2], [6], [7], [10], [11]). 8) Работы о задаче Плато для двумерных и многомерных М. п. (см. Плато задача, Плато многомерная задача). Из приведенного перечня исследуемых задач и полученных результатов видно, что диапазон вопросов теории М. п. весьма велик, соответственно разнообразны и применяемые в ней методы. Если в классич. исследованиях в основном применялись методы дифференциальной геометрии, теории функций комплексного переменного и дифференциальных уравнении, то сейчас возрастает роль методов топологии, теории меры и функционального анализа, особенно в исследованиях М. п. в многомерных пространствах.