Минимальных итераций метод

- метод решения системы линейных алгебраич. уравнений Ах=b, в к-ром решение xпредставляется в виде линейной комбинации базисных векторов, ортогональных в нек-рон метрике, связанной с матрицей системы. В случае симметричной матрицы Аортогональная система векторов p0, р 1..., pn-1 строится по трехчленным рекуррентным формулам pn+1=Apk -akpk -bkpk-1, k=1, 2,..., n- 2, (1) p1=Ap0-aop, p0- произвольный вектор, где ak=(Apk, pk)/(pk,pk),k=1, 2,..., n- 2, bk=(pk,pk)/(pk -1, pk-1),k=1, 2,..., n- 2. Решение системы [img: http://localhost:8080/file/031412-37.jpg] находится по формулам [img: http://localhost:8080/file/031412-38.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031412-39.jpg] а коэффициенты с k дают решение системы [img: http://localhost:8080/file/031412-40.jpg] В случае вырождения в алгоритме ортогонализации, т. е. когда р 2=0 при [img: http://localhost:8080/file/031412-41.jpg], выбирают новый начальный вектор [img: http://localhost:8080/file/031412-42.jpg] ортогональный [img: http://localhost:8080/file/031412-43.jpg] и достраивают систему базисных векторов до полной системы. Для случая несимметричной матрицы разработан биортогональный алгоритм. Если матрица Асимметрична и положительно определена, то построение А-ортогональной системы векторов [img: http://localhost:8080/file/031412-44.jpg] по формулам (1) с [img: http://localhost:8080/file/031412-45.jpg] позволяет избежать решения вспомогательной системы (2) и получить явное выражение для коэффициентов [img: http://localhost:8080/file/031412-46.jpg] При этом методу A-минимальных, итераций можно придать итерационную форму [img: http://localhost:8080/file/031412-47.jpg] причем х=х п_1. Такая модификация метода не требует повторного использования всех векторов р 0, р1,..., pk-1.M. и. м. используется также для решения полной проблемы собственных значении и для нахождения обратной матрицы.