Минковского проблема

существует ли замкнутая выпуклая гиперповерхность F, у к-рой гауссова кривизна [img: http://localhost:8080/file/031412-196.jpg] является заданной функцией единичного вектора внешней нормали [img: http://localhost:8080/file/031412-197.jpg]. Поставлена Г. Минковским [1], к-рому принадлежит обобщенное решение проблемы в том смысле, что оно не содержит никакой информации о характере регулярности F, даже если [img: http://localhost:8080/file/031412-198.jpg] - аналитич. функция. Он доказал, что если заданная на единичной гиперсфере S непрерывная положительная функция [img: http://localhost:8080/file/031412-199.jpg] удовлетворяет условию [img: http://localhost:8080/file/031412-200.jpg] то существует и притом единственная (с точностью до параллельного переноса) замкнутая выпуклая поверхность F, для к-рой [img: http://localhost:8080/file/031412-201.jpg] является гауссовой кривизной в точке с внешней нормалью [img: http://localhost:8080/file/031412-202.jpg]. Регулярное решение М. п. дано А. В. Погореловым в 1971 (см. [2]), им же рассмотрены нек-рые вопросы геометрии и теории дифференциальных уравнений, примыкающие к этой проблеме. Именно он доказал, что если [img: http://localhost:8080/file/031412-203.jpg] принадлежит классу [img: http://localhost:8080/file/031412-204.jpg] то получаемая поверхность Fпринадлежит классу [img: http://localhost:8080/file/031412-205.jpg] а в случае аналитичности [img: http://localhost:8080/file/031412-206.jpg] поверхность Fтакже оказывается аналитической. Естественное обобщение М. п. состоит в решении вопроса о существовании выпуклой гиперповерхности с заданной элементарной симметрич. функцией главных кривизн [img: http://localhost:8080/file/031412-207.jpg] любого данного порядка [img: http://localhost:8080/file/031412-208.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031412-209.jpg] В частности, при [img: http://localhost:8080/file/031412-210.jpg] это - проблема Кристоффеля о восстановлении поверхности по средней кривизне. Необходимое условие разрешимости этой обобщенной М. п. аналогично (*) имеет вид [img: http://localhost:8080/file/031412-211.jpg] Однако это условие недостаточно (А. Д. Александров, 1938, см. [3]). Вот примеры достаточных условий: [img: http://localhost:8080/file/031412-212.jpg] При этом регулярность Fта же, что и в М. п. Эти результаты с помощью аппроксимаций оказываются справедливыми и для функций [img: http://localhost:8080/file/031412-213.jpg], обладающих свойствами неотрицательности, симметрии и вогнутости.