Многогранника группа

- группа Sym Рсимметрии многогранника Рв n-мерном евклидовом пространстве E n, т. е. группа всех движений пространства Е n, переводящих Рв себя. Многогранник Рназ. правильным, если группа Sym Pтранзитивно действует на множестве его "флагов" - наборов [img: http://localhost:8080/file/031413-13.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031413-14.jpg] есть k-мерная замкнутая грань и [img: http://localhost:8080/file/031413-15.jpg] Группа симметрии правильного многогранника порождается отражениями (см. Отражений группа). Ее фундаментальной областью является симшшциальный конус К, вершина к-рого совпадает с центром многогранника Р, а ребра проходят через центры граней, составляющих какой-либо флаг F. Тем самым образующие отражения r1,..., r п группы Sym Pполучают естественную нумерацию: rk есть отражение относительно той гиперплоскости, ограничивающей K, к-рая не проходит через центр грани Г k-1. Образующие [img: http://localhost:8080/file/031413-16.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031413-17.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/031413-18.jpg] коммутируют, а порядок [img: http://localhost:8080/file/031413-19.jpg] равен [img: http://localhost:8080/file/031413-20.jpg] числу k-мерных (или (к-1)-мерных) граней многогранника Tk + 1, содержащих грань [img: http://localhost:8080/file/031413-21.jpg] (если считать, что [img: http://localhost:8080/file/031413-22.jpg]). Последовательность [img: http://localhost:8080/file/031413-23.jpg] наз. символом Шлефли многогранника. Трехмерные правильные многогранники (тела Платона) имеют следующие символы Шлефли: тетраэдр - {3,3}, куб - {4,3}, октаэдр - {3,4}, додекаэдр - {5,3}, икосаэдр - {3,5}. Символ Шлефли определяет правильный многогранник с точностью до подобия. Обращению символа Шлефли соответствует переход к взаимному многограннику, вершинами к-рого служат центры (п- 1)-мерных граней многогранника Р. Взаимные многогранники имеют одинаковые группы симметрии. Все возможные символы Шлефли правильных многогранников можно получить из классификации конечных групп отражений, выделив из них те, граф Кокстера к-рых линеен. При [img: http://localhost:8080/file/031413-24.jpg] в [img: http://localhost:8080/file/031413-25.jpg] существует лишь 3 правильных многогранника: симплекс, куб и многогранник взаимный кубу (аналог октаэдра). Их символы Шлефли суть {3,..., 3}, {4,3,..., 3} и {3,..., 3, 4}. В 4-мерном пространстве имеется 6 правильных многогранников; {3, 3, 3}, {4, 3, 3}, {3, 3, 4}, {3, 4, 3}, {5, 3, 3} и {3, 3, 5}. Каждая грань правильного многогранника Ртакже является правильным многогранником, причем ее символ Шлефли есть начальный отрезок символа Шлефли самого многогранника Р. Напр., 3-мерная грань многогранника {5, 3, 3} имеет символ Шлефли {5, 3}, т. е. является додекаэдром.