Многолистная функция

- понятие, естественным образом обобщающее понятие однолистной функции. Функция [img: http://localhost:8080/file/031413-198.jpg], регулярная или мероморфная в области Dкомплексной плоскости z, наз. р-листной в D(р=1, 2,...), если она принимает в этой области каждое свое значение не более рраз, т. е. если число корней уравнения [img: http://localhost:8080/file/031413-199.jpg] в области Dпри любом w не превосходит р. Геометрически это означает, что над каждой точкой плоскости wлежит не более рточек римановой поверхности, на к-рую функция [img: http://localhost:8080/file/031413-200.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031413-201.jpg] отображает область D. При р=1 функция f(z) является однолистной в области D. Наряду с этим простейшим классом р-листных функций большую роль в теории М. ф. играют функции, р-листные в нек-ром обобщенном смысле, "р-листные в среднем". Пусть функция [img: http://localhost:8080/file/031413-202.jpg] регулярна или мероморфна в области Dплоскости z, [img: http://localhost:8080/file/031413-203.jpg] - число корней уравнения [img: http://localhost:8080/file/031413-204.jpg] в Dи р - положительное число. Функция [img: http://localhost:8080/file/031413-205.jpg] наз. р-листной в среднем по окружности в D, если для всех [img: http://localhost:8080/file/031413-206.jpg] выполняется условие: [img: http://localhost:8080/file/031413-207.jpg] Геометрически это означает, что линейная мера дуг, принадлежащих римановой поверхности, на к-рую функция [img: http://localhost:8080/file/031413-208.jpg] отображает область D, и проектирующихся в любую окружность [img: http://localhost:8080/file/031413-209.jpg], не превосходит р длин таких окружностей. Функция f(z) наз. р-листной в среднем по площади в D, если [img: http://localhost:8080/file/031413-210.jpg] для всех [img: http://localhost:8080/file/031413-211.jpg]. Геометрически это означает, что площадь проектирующейся в любой круг [img: http://localhost:8080/file/031413-212.jpg] части римановой поверхности, на к-рую функция [img: http://localhost:8080/file/031413-213.jpg] отображает область D, не превосходит р площадей таких кругов. Из этих определений следует, что функция, р-листная в нек-рой области, является в ней и р-листной в среднем по окружности, а функция, р-листная в среднем по окружности, является р-листной в среднем по площади. Функция, р-листная в среднем, может оказаться бесконечнолистной. М. ф., как и однолистные, изучаются в различных направлениях: с точки зрения характеристики искажения области при ее отображениях этими функциями, оценки коэффициентов рядов, представляющих эти функции, и т. д. Они обладают многими экстремальными свойствами, аналогичными экстремальным свойствам однолистных функций. Напр., имеются следующие обобщения на случай р-листных функций двух классич. результатов теории однолистных функций - площадей принципа и оценки второго коэффициента (см. Вибербаха гипотеза). Если функция [img: http://localhost:8080/file/031413-214.jpg] р-листна и регулярна в области [img: http://localhost:8080/file/031413-215.jpg], за исключением полюса в точке [img: http://localhost:8080/file/031413-216.jpg], то [img: http://localhost:8080/file/031413-217.jpg] Если функция [img: http://localhost:8080/file/031413-218.jpg] регулярна и р-листна в круге |z|<1, то [img: http://localhost:8080/file/031413-219.jpg] Неравенства (2) и (4) не могут быть улучшены. Эти два результата относятся к наиболее ранним основным результатам теории р-листных функций. Неравенство (2) доказано также для функций вида (1), р-листных в среднем по площади в [img: http://localhost:8080/file/031413-220.jpg], а неравенство (4) - для функций вида (3), р-листных в среднем по площади в [img: http://localhost:8080/file/031413-221.jpg] Значительно продвинуть исследование класса р-листных функций позволило рассмотрение его как подкласса функций, р-листных в среднем. Получены для р-листных функций и точные аналоги основных теорем искажения и покрытия, известных для однолистных функций (см. Искажения теоремы, Покрытия теоремы), именно: для функций f(z) вида (3), р-листных в среднем по окружности в круге |z|<1, верны точные оценки: [img: http://localhost:8080/file/031413-222.jpg] функция f(z)принимает в |z|<l каждое значение wс [img: http://localhost:8080/file/031413-223.jpg] ровно р раз (прямой аналог теоремы покрытия Кебе). Этим последним свойством обладают и функции [img: http://localhost:8080/file/031413-224.jpg] вида (3), р-листные в среднем по площади в [img: http://localhost:8080/file/031413-225.jpg]. Для функций, р-листных в среднем по окружности, получен ряд неулучшаемых результатов, характеризующих рост их коэффициентов. Так, для функции вида [img: http://localhost:8080/file/031413-226.jpg] р-листной в среднем по окружности в круге [img: http://localhost:8080/file/031413-227.jpg], [img: http://localhost:8080/file/031413-228.jpg], существует, и притом конечный, предел [img: http://localhost:8080/file/031413-229.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031413-230.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/031413-231.jpg] Всякий раз, когда получается оценка для [img: http://localhost:8080/file/031413-232.jpg], отсюда следует и соответствующая точная оценка асимптотич. роста коэффициентов. В частности, если [img: http://localhost:8080/file/031413-233.jpg] имеет вид (3), то последнее равенство принимает вид [img: http://localhost:8080/file/031413-234.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031413-235.jpg], за исключением того случая, когда [img: http://localhost:8080/file/031413-236.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031413-237.jpg] ([img: http://localhost:8080/file/031413-238.jpg] - вещественно). Далее, для функций вида (3), р-листных в среднем по окружности в круге [img: http://localhost:8080/file/031413-239.jpg], получена точная оценка: [img: http://localhost:8080/file/031413-240.jpg] а для подкласса р-листных функций такого вида была указана точная оценка и следующего коэффициента: [img: http://localhost:8080/file/031413-241.jpg] Два последних неравенства являются для М. ф. аналогами оценок [img: http://localhost:8080/file/031413-242.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031413-243.jpg], известных для однолистных функции (см. Бибербаха гипотеза). Так. [img: http://localhost:8080/file/031413-246.jpg] и оценка [img: http://localhost:8080/file/031413-247.jpg] здесь [img: http://localhost:8080/file/031413-248.jpg] зависит только от [img: http://localhost:8080/file/031413-249.jpg] Порядок величин в (6), (9) и (10) не может быть улучшен. Имеется также следующий аналог для М. ф. теоремы, известной для однолистных мероморфных функций: в классе всех функций [img: http://localhost:8080/file/031413-250.jpg] р-листных и регулярных в области [img: http://localhost:8080/file/031413-251.jpg] за исключением полюса в [img: http://localhost:8080/file/031413-252.jpg] имеющих в фиксированной точке [img: http://localhost:8080/file/031413-253.jpg] этой области разложение [img: http://localhost:8080/file/031413-254.jpg] областью значений функционала [img: http://localhost:8080/file/031413-255.jpg] является круг [img: http://localhost:8080/file/031413-256.jpg] Кроме указанных выше основных классов М. ф., значительное место в исследованиях занимают, более специальные классы М. ф., напр, функции типично вещественные порядка р, р-листно звездные, р-листно выпуклые, р-листно близкие к выпуклым, ограниченные р-листные и др., являющиеся обобщениями соответственно типично вещественных функций, звездообразных функций, выпуклых функций, близких к выпуклым, ограниченных однолистных и других функций. Функция [img: http://localhost:8080/file/031413-257.jpg] наз. типично вещественной порядка р в круге [img: http://localhost:8080/file/031413-258.jpg], если она регулярна в нем, имеет вещественные коэффициенты [img: http://localhost:8080/file/031413-259.jpg] и обладает свойством: существует такое число [img: http://localhost:8080/file/031413-260.jpg] что для всякого г из промежутка [img: http://localhost:8080/file/031413-261.jpg] мнимая часть [img: http://localhost:8080/file/031413-262.jpg] меняет свой знак на окружности [img: http://localhost:8080/file/031413-263.jpg] точно 2р раз. При этом [img: http://localhost:8080/file/031413-264.jpg] может быть более чем р-листной в [img: http://localhost:8080/file/031413-265.jpg] Для коэффициентов такой функции имеет место точная оценка: [img: http://localhost:8080/file/031413-266.jpg] Одним из аналогов гипотезы Бибербаха для функций вида (11), регулярных и р-листных в круге [img: http://localhost:8080/file/031413-267.jpg], является гипотеза Гудмена о справедливости для их коэффициентов [img: http://localhost:8080/file/031413-268.jpg] неравенства (12). В частности, эта гипотеза Гудмена верна для р-листных типично вещественных функций порядка р в [img: http://localhost:8080/file/031413-269.jpg] Доказано, что она верна также для одного из классов р-листных функций, являющегося обобщением класса однолистных функций, выпуклых в направлении мнимой оси. Другим аналогом гипотезы Бибербаха для р-листных функций является следующая гипотеза Гудмена. Пусть функция [img: http://localhost:8080/file/031413-270.jpg] регулярна и р-листна, [img: http://localhost:8080/file/031413-271.jpg] в круге [img: http://localhost:8080/file/031413-272.jpg] и пусть она имеет tнулей [img: http://localhost:8080/file/031413-273.jpg] в области [img: http://localhost:8080/file/031413-274.jpg], [img: http://localhost:8080/file/031413-275.jpg]. Гипотеза состоит в том, что [img: http://localhost:8080/file/031413-276.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031413-277.jpg] - коэффициенты разложения [img: http://localhost:8080/file/031413-278.jpg] Для типично вещественных функций порядка р в [img: http://localhost:8080/file/031413-279.jpg] это неравенство доказано. Классы р-л истно звездных и р-листно выпуклых функций, соответственно [img: http://localhost:8080/file/031413-280.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031413-281.jpg], определяются следующим образом. Функция [img: http://localhost:8080/file/031413-282.jpg] принадлежит классу [img: http://localhost:8080/file/031413-283.jpg] если она регулярна в круге [img: http://localhost:8080/file/031413-284.jpg] и если существует такое число [img: http://localhost:8080/file/031413-285.jpg], [img: http://localhost:8080/file/031413-286.jpg] что [img: http://localhost:8080/file/031413-287.jpg] для [img: http://localhost:8080/file/031413-288.jpg]. Функция f(z)принадлежит классу [img: http://localhost:8080/file/031413-289.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031413-290.jpg], если она регулярна в круге [img: http://localhost:8080/file/031413-291.jpg] и если существует такое [img: http://localhost:8080/file/031413-292.jpg], что [img: http://localhost:8080/file/031413-293.jpg] для [img: http://localhost:8080/file/031413-294.jpg]. Для функций этих двух классов получен ряд точных оценок. Классы [img: http://localhost:8080/file/031413-295.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031413-296.jpg] оказываются подклассами более широкого класса р -листных функций - функций р-листно близких к выпуклым. Функция [img: http://localhost:8080/file/031413-297.jpg] регулярная в круге [img: http://localhost:8080/file/031413-298.jpg], наз. р-листно близкой к выпуклой, если она удовлетворяет одному из следующих условий: (А) существуют функция [img: http://localhost:8080/file/031413-299.jpg] и число [img: http://localhost:8080/file/031413-300.jpg] такие, что [img: http://localhost:8080/file/031413-301.jpg] (Б) F(z)регулярна на |z|=l и существует функция [img: http://localhost:8080/file/031413-302.jpg], также регулярная на |z| = l, такая, что на |z| = l выполняется неравенство (13). Для функций F(z)этого класса найдены точные оценки снизу и сверху |F'(z)|и доказана справедливость неравенства (12) - при n=p+l для всех функций этого класса и при всех [img: http://localhost:8080/file/031413-303.jpg] для его функций с вещественными коэффициентами. Точные оценки, обобщающие нек-рые результаты для ограниченных однолистных функций, получены и для ограниченных функций, р-листных в соответствующем обобщенном смысле. Так, был найден радиус р-листности в классе регулярных и ограниченных в круге функций, именно: если функция f(z)регулярна и ограничена по модулю единицей в круге |z|<l, нормирована условиями [img: http://localhost:8080/file/031413-304.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031413-305.jpg] то радиус р наибольшего круга [img: http://localhost:8080/file/031413-306.jpg], в к-ром она р-листна, определяется из уравнения [img: http://localhost:8080/file/031413-307.jpg] Эта теорема обобщает на случай р>1 теорему Ландау о радиусе однолистности функций, регулярных и ограниченных в круге [img: http://localhost:8080/file/031413-308.jpg]. Известны различные достаточные условия для того, чтобы функция, регулярная в области, была в ней р-листной. Напр., если [img: http://localhost:8080/file/031413-309.jpg] регулярна в выпуклой области D и существуют такое вещественное [img: http://localhost:8080/file/031413-310.jpg] и такое целое [img: http://localhost:8080/file/031413-311.jpg] что [img: http://localhost:8080/file/031413-312.jpg] то f(z) р -листна в D, М. ф. исследуются также и в многосвязных областях. Многие оценки здесь выражаются через функции, отображающие данную мвогосвязную область на канонические римановы поверхности, и через Бергмана керн-функцию. Первым основным результатом, относящимся к вопросу существования конформных отображений многосвязной области на многолистные канонич. поверхности, явилась следующая теорема Грунского: пусть D- конечносвязная область плоскости z с внутренней точкой [img: http://localhost:8080/file/031413-313.jpg] и с отличными от точек граничными компонентами и [img: http://localhost:8080/file/031413-314.jpg] - любой заданный полином степени [img: http://localhost:8080/file/031413-315.jpg]; тогда для любого заданного [img: http://localhost:8080/file/031413-316.jpg], [img: http://localhost:8080/file/031413-317.jpg] существует единственная функция [img: http://localhost:8080/file/031413-318.jpg], регулярная в области D, за исключением полюса в [img: http://localhost:8080/file/031413-319.jpg], главная часть к-рой в [img: http://localhost:8080/file/031413-320.jpg] (с включением в нее свободного члена) совпадает с [img: http://localhost:8080/file/031413-321.jpg] н к-рая ставит в соответствие каждой граничной компоненте области Dпрямолинейный отрезок наклона [img: http://localhost:8080/file/031413-322.jpg] к вещественной оси. Иначе говоря, функция [img: http://localhost:8080/file/031413-323.jpg] отображает область Dна полную р-листную плоскость wс параллельными разрезами наклона [img: http://localhost:8080/file/031413-324.jpg]. Доказано существование конформных отображений данной конечносвязной области и на другие канонические многолистные поверкности; установлены экстремальные свойства М. ф., аналогичные нек-рым экстремальным свойствам однолистных функций. Выявлен просто характеризуемый геометрически наиболее общий класс М. ф., мероморфных в конечно-связной области, для к-рых верна теорема площадей. Основными методами исследования М. ф. являются: контурного интегрирования метод, симметризации метод, метод квадратичных дифференциалов. Вариационный метод в теории М. ф. менее эффективен, чем в теории однолистных функций.