Многомерная вариационная задача

вариационная задача с частными производными,- задача вариационного исчисления, в к-рой требуется определить экстремум функционала, зависящего от функций многих независимых переменных. Обычные вариационные задачи, в к-рых рассматриваются функционалы от функций одной независимой переменной, можно назвать в этом смысле одномерными вариационными задачами. Примером двумерной вариационной задачи может служить задача, в к-рой требуется определить функцию двух независимых переменных u(x, y), непрерывную вместе со своими частными производными 1-го порядка, доставляющую экстремум функционалу [img: http://localhost:8080/file/031413-325.jpg] при граничном условии [img: http://localhost:8080/file/031413-326.jpg] где I- замкнутый контур, ограничивающий область D [img: http://localhost:8080/file/031413-327.jpg] - заданная функция, [img: http://localhost:8080/file/031413-328.jpg] - дважды непрерывно дифференцируемая функция по совокупности своих аргументов. Пусть и(х, у)есть решение задачи (1), (2). Подстановка функций сравнения [img: http://localhost:8080/file/031413-329.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031413-330.jpg] - числовой параметр, в функционал (1), дифференцирование по [img: http://localhost:8080/file/031413-331.jpg] и приравнивание [img: http://localhost:8080/file/031413-332.jpg] позволяет получить следующее выражение для первой вариации функционала [img: http://localhost:8080/file/031413-333.jpg] Если [img: http://localhost:8080/file/031413-334.jpg] имеет непрерывные производные 2-го порядка, то легко показать, что необходимым условием равенства нулю первой вариации [img: http://localhost:8080/file/031413-335.jpg] является выполнение условия [img: http://localhost:8080/file/031413-336.jpg] Уравнение (4) наз. уравнением Эйлера - Остроградского (иногда - уравнением Остроградского). Этому уравнению должна удовлетворять функция [img: http://localhost:8080/file/031413-337.jpg], доставляющая экстремум функционалу (1) при граничных условиях (2). Уравнение Эйлера - Остроградского является аналогом уравнения Эйлера для одномерных вариационных задач. В развернутом виде (4) представляет собой уравнение с частными производными 2-го порядка. В случае тройного интеграла и функции [img: http://localhost:8080/file/031413-338.jpg], зависящей от трех независимых переменных, уравнение Эйлера - Остроградского принимает вид: [img: http://localhost:8080/file/031413-339.jpg] Следующее условие является аналогом Лежандра условия. Для того чтобы функция [img: http://localhost:8080/file/031413-340.jpg] доставляла хотя бы слабый экстремум функционалу (1), необходимо, чтобы в каждой внутренней точке области Dвыполнялось условие [img: http://localhost:8080/file/031413-341.jpg] Для минимума необходимо [img: http://localhost:8080/file/031414-1.jpg], а для максимума [img: http://localhost:8080/file/031414-2.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031414-3.jpg] Рассматриваются также разрывные М. в. з. (см. [4]).