Многомерный узел

- изотопический класс вложений сферы в сферу. Более точно, re-мерным узлом коразмерности q наз. пара [img: http://localhost:8080/file/031414-207.jpg], состоящая из ориентированной сферы [img: http://localhost:8080/file/031414-208.jpg] и ее ориентированного локально плоского подмногообразия [img: http://localhost:8080/file/031414-209.jpg], гомеоморфного сфере [img: http://localhost:8080/file/031414-210.jpg]. Два узла [img: http://localhost:8080/file/031414-211.jpg] наз. эквивалентными, если существует изотопия сферы [img: http://localhost:8080/file/031414-212.jpg], переводящая [img: http://localhost:8080/file/031414-213.jpg] на [img: http://localhost:8080/file/031414-214.jpg] с сохранением ориентации. В зависимости от того, в какой категории (Diff, PL или Тор) понимаются термины "подмногообразие" и "изотопия" в предыдущих определениях, говорится о гладких, кусочно линейных пли топо-логич. М. у. соответственно. В гладком случае подмногообразие [img: http://localhost:8080/file/031414-215.jpg] может иметь п нестандартную дифференцируемую структуру, n-мерный узел коразмерности q, изотопный стандартному вложению, наз. тривиальным, или незаузленным, узлом. Изучение М. у. коразмерности 1 связано с Шёнфлиса гипотезой. Всякий топологич. узел коразмерности 1 тривиален. Это же верно и для кусочно линейных и гладких узлов, если [img: http://localhost:8080/file/031414-216.jpg] Кусочно линейные и тоиологич. М. у. коразмерности [img: http://localhost:8080/file/031414-217.jpg] тривиальны. В гладком случае это не так. Множество изотопич. классов гладких га-мерных узлов коразмерности [img: http://localhost:8080/file/031414-218.jpg] совпадает при [img: http://localhost:8080/file/031414-219.jpg] с множеством [img: http://localhost:8080/file/031414-220.jpg] классов кобордизмов узлов (два М. у. [img: http://localhost:8080/file/031414-221.jpg] = [img: http://localhost:8080/file/031414-222.jpg] наз. кобордантными, если существует гладкое [img: http://localhost:8080/file/031414-223.jpg] -мерное подмногообразие [img: http://localhost:8080/file/031414-224.jpg], трансверсально выходящее на [img: http://localhost:8080/file/031414-225.jpg], причем [img: http://localhost:8080/file/031414-226.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031414-227.jpg] является h-кобордизмом между [img: http://localhost:8080/file/031414-228.jpg]). Множество [img: http://localhost:8080/file/031414-229.jpg] является абелевой группой относительно связного суммирования. В этой группе противоположным к классу М. у. [img: http://localhost:8080/file/031414-230.jpg] является класс кобордизмов узла [img: http://localhost:8080/file/031414-231.jpg], где минус означает обращение ориентации. Имеется естественный гомоморфизм [img: http://localhost:8080/file/031414-232.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031414-233.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/031414-234.jpg] - группа n -мерных гомотопич. сфер; этот гомоморфизм сопоставляет узлу [img: http://localhost:8080/file/031414-235.jpg] дифференцируемую структуру сферы [img: http://localhost:8080/file/031414-236.jpg]. Ядро этого гомоморфизма, обозначаемое [img: http://localhost:8080/file/031414-237.jpg], совпадает с множеством изотопич. классов стандартной сферы [img: http://localhost:8080/file/031414-238.jpg] в [img: http://localhost:8080/file/031414-239.jpg]. Если [img: http://localhost:8080/file/031414-240.jpg] то группа [img: http://localhost:8080/file/031414-241.jpg] тривиальна. Если [img: http://localhost:8080/file/031414-242.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031414-243.jpg], то группы [img: http://localhost:8080/file/031414-244.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031414-245.jpg] конечны. В случае, когда [img: http://localhost:8080/file/031414-246.jpg], группы [img: http://localhost:8080/file/031414-247.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031414-248.jpg] являются конечно порожденными абелевыми группами ранга 1 (см. [1], [2]). Вычислено также множество классов конкордантных гладких вложений [img: http://localhost:8080/file/031414-249.jpg] в [img: http://localhost:8080/file/031414-250.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/031414-251.jpg] (см. [3]). Изучение М. у. коразмерности 2, к-рые в дальнейшем будут наз. просто узлами, проходит почти аналогично во всех трех категориях (Diff, Pl, Top). При [img: http://localhost:8080/file/031414-252.jpg] всякий топология, узел переводится изотопией в гладкий. Однако существуют топологич. трехмерные узлы в [img: http://localhost:8080/file/031414-253.jpg], не эквивалентные и даже не кобордантные гладким узлам (см. [4]). Множество изотопич. классов re-мерных узлов (каждой категории) образует абелеву полугруппу относительно связного суммирования. Известно, что при n= 1 в этой полугруппе всякий элемент представляется в виде конечной суммы простых, т. е. нетривиальным образом неразложимых элементов, и такое разложение единственно n -мерный узел [img: http://localhost:8080/file/031414-254.jpg] тривиален тогда и только тогда, когда [img: http://localhost:8080/file/031414-255.jpg] при всех [img: http://localhost:8080/file/031414-256.jpg] Дана (см. [6]) алгебраич. классификация узлов К, у к-рых [img: http://localhost:8080/file/031414-257.jpg] при всех [img: http://localhost:8080/file/031414-258.jpg] и число пнечетно (узлы типа L):при n>=5 множество изотопич. классов таких узлов находится во взаимно однозначном соответствии с множеством S-эквивалентных классов Зейферта матриц. Узлы типа Lважны с точки зрения приложений в алгебраич. геометрии, т. к. среди них находятся все узлы, получаемые с помощью следующей конструкции (см. [15]). Пусть [img: http://localhost:8080/file/031414-259.jpg] - комплексный многочлен ненулевой степени, имеющий О в качестве изолированной особой точки и f(0)=0. Пересечение кгиперповерхности [img: http://localhost:8080/file/031414-260.jpg] с малой сферой [img: http://localhost:8080/file/031414-261.jpg] с центром в нуле является (q-2)-связным [img: http://localhost:8080/file/031414-262.jpg] -мерным многообразием. Многообразие кгомеоморфно сфере [img: http://localhost:8080/file/031414-263.jpg] тогда и только тогда, когда [img: http://localhost:8080/file/031414-264.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031414-265.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/031414-266.jpg] - полином Александера. Вэтом случае возникает узел [img: http://localhost:8080/file/031414-267.jpg]. Такие узлы наз. алгебраическими, все они являются узлами типа L. Внешностью гладкого узла [img: http://localhost:8080/file/031414-268.jpg] наз. дополнение Xоткрытой трубчатой окрестности [img: http://localhost:8080/file/031414-269.jpg] в [img: http://localhost:8080/file/031414-270.jpg]. При [img: http://localhost:8080/file/031414-271.jpg] для всякого га-мерного узла Ксуществует такой узел [img: http://localhost:8080/file/031414-272.jpg], что всякий узел, внешность к-ро-го диффеоморфна внешности узла К, эквивалентен либо К, либо [img: http://localhost:8080/file/031414-273.jpg]. Если [img: http://localhost:8080/file/031414-274.jpg] - внешности двух гладких n -мерных узлов, [img: http://localhost:8080/file/031414-275.jpg] то следующие утверждения равносильны (см. [7]): 1) [img: http://localhost:8080/file/031414-276.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031414-277.jpg] диффеоморфны, 2) пары [img: http://localhost:8080/file/031414-278.jpg] гомотопически эквивалентны. Эти результаты сводят проблему классификации узлов к гомотопич. классификации пар [img: http://localhost:8080/file/031414-279.jpg] и к решению вопроса о том, определяет ли внешность тип узла, т. е. верно ли равенство [img: http://localhost:8080/file/031414-280.jpg] Известно, что это равенство справедливо для узлов типа L(см. [6]), для узлов, получаемых конструкцией Артина и конструкцией сверхзакручивания (см. [8]). Однако найдены двумерные узлы в [img: http://localhost:8080/file/031414-281.jpg], для к-рых [img: http://localhost:8080/file/031414-282.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031414-283.jpg]. (см. [9]). Изучение гомотопич. типа внешности X усложняется из-за ее неодносвязности. Если G- группа узла (т. е. [img: http://localhost:8080/file/031414-284.jpg]), то [img: http://localhost:8080/file/031414-285.jpg], [img: http://localhost:8080/file/031414-286.jpg], вес группы G(т. е. минимальное число элементов, не содержащихся ни в одном собственном нормальном делителе) равен 1. При [img: http://localhost:8080/file/031414-287.jpg] эти свойства полностью описывают класс групп n -мерных узлов (см. [10]). Группы одномерных и двумерных узлов обладают рядом дополнительных свойств (см. Узлов теория, Двумерный, узел). Поскольку [img: http://localhost:8080/file/031414-288.jpg] внешность Xобладает единственным бесконечным циклическим накрытием [img: http://localhost:8080/file/031414-289.jpg], к-рое наз. бесконечным циклическим накрытием узла. Гомологии [img: http://localhost:8080/file/031414-290.jpg] являются [img: http://localhost:8080/file/031414-291.jpg] -модулями. Их Александера инвариан ты, являются инвариантами узла. Об алгебраич. свойствах модулей [img: http://localhost:8080/file/031414-292.jpg] см. [10]-[13]. Благодаря тому обстоятельству, что на бесконечном циклическом накрытии группа [img: http://localhost:8080/file/031414-293.jpg] действует без неподвижных точек, (n+2)-мерное некомпактное многообразие [img: http://localhost:8080/file/031414-294.jpg] обладает рядом гомология, свойств компактных (га+1)-мерных многообразий. В частности, на гомоло-гиях многообразия [img: http://localhost:8080/file/031414-295.jpg] с коэффициентами в поле Fсуществует невырожденное спаривание [img: http://localhost:8080/file/031414-296.jpg] по свойствам напоминающее спаривание, определяемое пересечения индексом в (n+1)-мерных компактных многообразиях. Имеется также спаривание [img: http://localhost:8080/file/031414-297.jpg] аналогичное зацепления коэффициентам в (n+1) - мерных многообразиях (см. [13]), где [img: http://localhost:8080/file/031414-298.jpg] Эти гомологич. спаривания порождают инварианты гомотопич. типа пары [img: http://localhost:8080/file/031414-299.jpg]. Для получения алгебраич. инвариантов используются также конечнолистные циклические разветвленные накрытия (см. [14]). Задача классификации узлов коразмерности 2 с точностью до кобордизма - отношения эквивалентности более грубого, чем изотопич. тип,- полностью решена при [img: http://localhost:8080/file/031414-300.jpg] (см. Узлов кобордизм).