Многочлен

полином,- выражение вида [img: http://localhost:8080/file/031415-22.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031415-23.jpg] - переменные, а А, В,..., D (коэффициент ы М.) и x, y,..., w (показатели степеней - целые неотрицательные числа) - постоянные. Отдельные слагаемые вида [img: http://localhost:8080/file/031415-24.jpg] наз. членами М. Порядок членов, а также порядок множителей в каждом члене можно менять произвольно; тёчно так же можно вводить или опускать члены с нулевыми коэффициентами, а в каждом отдельном члене - степени с нулевыми показателями. В случае, когда М. имеет один, два или три члена, его наз. одночленом, двучленом или трехчленом. Относительно коэффициентов М. предполагается, что они принадлежат нек-рому полю, напр, полю рациональных, действительных или комплексных чисел. Два члена М. наз. подобными, если в них показатели степеней при одинаковых переменных попарно равны. Подобные между собой члены [img: http://localhost:8080/file/031415-25.jpg] можно заменить одним [img: http://localhost:8080/file/031415-26.jpg] (приведение подобных членов). Два М. наз. равными, если после приведения подобных все члены с отличными от нуля коэффициентами оказываются попарно одинаковыми (но, может быть, записанными в разном порядке), а также если все коэффициенты этих М. оказываются равными нулю. В последнем случае М. наз. тождественным нулем и обозначают знаком 0. Сумму показателей степеней какого-либо члена М. наз. степенью этого члена. Если М. не тождественный нуль, то среди членов с отличными от нуля коэффициентами (предполагается, что все подобные члены приведены) имеются один или несколько наибольшей степени; эту наибольшую степень наз. степенью М. Тождественный нуль не имеет степени. М. нулевой степени сводится к одному члену А(постоянному, не равному нулю). М. от переменных х 1, х2,..., х п наз. симметрическим многочленом, если он не меняется ни при какой перестановке неизвестных. М., все члены к-рого одинаковой степени, наз. однородным многочленом, или формой; формы первой, второй и третьей степеней наз. линейными, квадратичными, кубическими, а по числу переменных (два, три)-двоичными (бинарными), тройничными (тернарными) (напр., [img: http://localhost:8080/file/031415-27.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031415-28.jpg] есть тройничная квадратичная форма). Степенью многочлена [img: http://localhost:8080/file/031415-29.jpg] по отношению к одному из переменных [img: http://localhost:8080/file/031415-30.jpg] наз. наивысший показатель, с к-рым.xi входит в члены этого М. (эта степень может быть и нулевой). Из двух членов М. тот считается выше (Относительно данной нумерации переменных), у к-рого показатель при х 1. больше, а если эти показатели равны, то тот, у к-рого показатели при [img: http://localhost:8080/file/031415-31.jpg] больше, и т. д. Если все члены М. расположены в таком порядке, что каждый следующий член ниже предыдущего, то говорят, что члены этого М. расположены лексикографически. Тот член, к-рый при этом стоит на первом месте, наз. высшим членом многочлена. М. от одного переменного, члены к-рого расположены в лексико-графич. порядке, имеет вид [img: http://localhost:8080/file/031415-32.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031415-33.jpg] - коэффициенты. Корнем многочлена от одного неизвестного над полем кназ. решение алгебраического уравнения [img: http://localhost:8080/file/031415-34.jpg] Корни М. связаны с его коэффициентами формулами Впета (см. Виета теорема). Совокупность всевозможных различных М. от ппеременных с коэффициентами из данного поля образует кольцо относительно естественным образом определяемых операций сложения и умножения. Рассматриваются также кольца М. от бесконечного множества переменных. Многочленов кольца являются ассоциативно-коммутативными кольцами без делителей нуля (т. е. произведение М., не равных 0, не может дать 0). Если для двух многочленов Ри Qможно найти такой многочлен В, что [img: http://localhost:8080/file/031415-35.jpg] то говорят, что Рделится на Q; Q наз. делителем, а В- частным. Если Рне делится на Q, но оба М. содержат одно и то же переменное, напр, х, и степень Рпо отношению к хесть п, а степень Qесть [img: http://localhost:8080/file/031415-36.jpg], то можно найти такие многочлены р, R и S, что pP=QR+S, причем рсовсем не содержит х, а в Sпеременное хсодержится в степени ниже т. В случае, когда хявляется единственным переменным, можно рсчитать равным 1; тогда операцию отыскания Ви Sпо Ри Qназ. делением с остатком; деление с остатком можно производить с помощью Горнера схемы. Посредством повторного применения этой операции можно находить наибольший общий делитель Ри Q, т. е. такой делитель Ри Q, к-рый делится на любой общий делитель этих М. (см. Евклида алгоритм). Два М., наибольший общий делитель к-рых равен 1, наз. взаимно простыми. М., к-рый можно представить в виде произведения М. низших степеней с коэффициентами из данного поля, наз. приводимым (в данном поле), в противном случае - неприводимым. Неприводимые М. играют в кольце М. роль, сходную с ролью простых чисел в кольце целых чисел. Напр., верна теорема: если произведение PQ делится на неприводимый многочлен В, а Р на Вне делится, то Qдолжен делиться на В. Каждый М., степени большей нуля, разлагается в данном поле в произведение неприводимых множителей единственным образом (с точностью до множителей нулейой степени). Напр., многочлен [img: http://localhost:8080/file/031415-37.jpg], неприводимый в поле рациональных чисел, разлагается на два множителя в поле действительных чисел и на четыре множителя в поле комплексных чисел. Вообще, каждый М. от одного переменного хразлагается в поле действительных чисел на множители первой и второй степени, в поле комплексных чисел - на множители первой степени (алгебры основная теорема). Для двух и большего числа переменных этого уже нельзя утверждать. Над любым полем кдля любого [img: http://localhost:8080/file/031415-38.jpg] существуют М. от ппеременных, неприводимые в любом расширении поля к. Такие М. наз. абсолютно неприводимыми. Напр., многочлен [img: http://localhost:8080/file/031415-39.jpg] неприводим в любом числовом поле. Если переменным [img: http://localhost:8080/file/031415-40.jpg] придать определенные числовые значения (напр., действительные или комплексные), то М. также получит определенное числовое значение. Таким образом, каждый М. можно рассматривать как функцию соответствующих переменных. Эта функция непрерывна и дифференцируема при любых значениях переменных; ее можно характеризовать как целую рациональную функцию, т. е. функцию, получающуюся из переменных и нек-рых постоянных (коэффициентов) посредством выполнения в определенном порядке действий сложения, вычитания и умножения. Целые рациональные функции входят в более широкий класс рациональных функций, где к перечисленным действиям: присоединяется деление: любую рациональную функцию можно представить в виде частного двух М. Наконец, рациональные функции содержатся в классе алгебраических функций. К числу важнейших свойств М. относится то, что любую непрерывную функцию можно с произвольно малой ошибкой, заменить М. (см. Вейерштрасса теорема). Специальные системы М.- ортогональные многочлены- используются в теории приближения как средство представления функций в виде рядов. В элементарной алгебре М. иногда наз. такие ал-гебраич. выражения, в к-рых последним действием является сложение или вычитание.