Множественный коэффициент корреляции

- мера линейной зависимости между одной и нек-рой совокупностью случайных величин. Точнее, если [img: http://localhost:8080/file/031415-123.jpg] случайный вектор со значениями в [img: http://localhost:8080/file/031415-124.jpg], то М. к. к. между [img: http://localhost:8080/file/031415-125.jpg] определяется как обычный коэффициент корреляции между Х 1 и наилучшим линейным приближением [img: http://localhost:8080/file/031415-126.jpg] по [img: http://localhost:8080/file/031415-127.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031415-128.jpg] т. е. регрессией [img: http://localhost:8080/file/031415-129.jpg] величины [img: http://localhost:8080/file/031415-130.jpg] по [img: http://localhost:8080/file/031415-131.jpg]. М. к. к. обладает тем свойством, что если при [img: http://localhost:8080/file/031415-132.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031415-133.jpg] есть регрессия [img: http://localhost:8080/file/031415-134.jpg] по [img: http://localhost:8080/file/031415-135.jpg] то среди всех линейных комбинаций величин [img: http://localhost:8080/file/031415-136.jpg] величина [img: http://localhost:8080/file/031415-137.jpg] имеет наибольшую корреляцию с [img: http://localhost:8080/file/031415-138.jpg]; в этом смысле М. к. к.- частный случай канонич. коэффициента корреляции. При к -2 М. к. к. равен обычному коэффициенту корреляции [img: http://localhost:8080/file/031415-139.jpg] между [img: http://localhost:8080/file/031415-140.jpg]. М. к. к. между [img: http://localhost:8080/file/031415-141.jpg] обозначается [img: http://localhost:8080/file/031415-142.jpg] и выражается через элементы корреляционной матрицы [img: http://localhost:8080/file/031415-143.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031415-144.jpg] следующим образом [img: http://localhost:8080/file/031415-145.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031415-146.jpg] - определитель [img: http://localhost:8080/file/031415-147.jpg] алгебраич. дополнение элемента [img: http://localhost:8080/file/031415-148.jpg]; при этом [img: http://localhost:8080/file/031415-149.jpg]. Если [img: http://localhost:8080/file/031415-150.jpg], то величина Х 1 с вероятностью 1 равна нек-рой линейной комбинации величин [img: http://localhost:8080/file/031415-151.jpg] т. е. совместное распределение величин [img: http://localhost:8080/file/031415-152.jpg] сосредоточено в нек-рой гиперплоскости пространства [img: http://localhost:8080/file/031415-153.jpg]. С другой стороны, [img: http://localhost:8080/file/031415-154.jpg] тогда и только тогда, когда [img: http://localhost:8080/file/031415-155.jpg] т. е. когда [img: http://localhost:8080/file/031415-156.jpg] не коррелирована ни с одной из величин [img: http://localhost:8080/file/031415-157.jpg] Для вычисления М. к. к. можно также использовать формулу [img: http://localhost:8080/file/031415-158.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031415-159.jpg] - дисперсия [img: http://localhost:8080/file/031415-160.jpg], а [img: http://localhost:8080/file/031415-161.jpg] - дисперсия X1 относительно регрессии. Выборочным аналогом М. к. к. [img: http://localhost:8080/file/031415-162.jpg] является [img: http://localhost:8080/file/031415-163.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031415-164.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031415-165.jpg] - оценки [img: http://localhost:8080/file/031415-166.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031415-167.jpg] по выборке объема п. Для проверки гипотезы об отсутствии связи используются выборочные распределения [img: http://localhost:8080/file/031415-168.jpg]. При условии, что выборка произведена из многомерной нормальной совокупности, величина [img: http://localhost:8080/file/031415-169.jpg] имеет бета-распределение с параметрами [img: http://localhost:8080/file/031415-170.jpg], если [img: http://localhost:8080/file/031415-171.jpg]; если [img: http://localhost:8080/file/031415-172.jpg], то величина [img: http://localhost:8080/file/031415-173.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/031415-174.jpg] имеет в пределе нецентральное "хи-квадрат"-распределение с к-1 степенями свободы и параметром нецентральности [img: http://localhost:8080/file/031415-175.jpg]