Множеств категория

- категория, объектами к-рой являются всевозможные множества, морфиз-мами - всевозможные отображения множеств друг в друга, и умножение морфизмов определяется как последовательное выполнение отображений [img: http://localhost:8080/file/031415-85.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031415-86.jpg] Если теоретико-категорные рассмотрения проводятся внутри фиксированного универсального множества U, то под М. к. понимают категорию, объектами к-рой являются всевозможные множества, принадлежащие U, а морфизмы и их умножение вводятся, как и выше. М. к. обозначают либо [img: http://localhost:8080/file/031415-87.jpg], либо Ens, либо [img: http://localhost:8080/file/031415-88.jpg], либо Me. Пустое множество [img: http://localhost:8080/file/031415-89.jpg] является левым нулем (инициальным объектом), а одноэлементное множество - правым нулем (терминальным объектом) М. к. Всякое непустое множество является образующим объектом, всякое множество, содержащее не менее двух элементов,- кообразующим (коинтегральным) объектом М. к. Всякий мономорфизм с непустым началом есть обратимое справа инъективное отображение, всякий эпиморфизм есть обратимое слева сюръективное отображение. М. к. обладает единственной бикатегорной структурой. М. к. является локально малой биполной категорией. В частности, произведение семейства множеств совпадает с декартовым произведением этого семейства, копроизведение семейства множеств совпадает с разъединенным объединением этого семейства. Декартово произведение, рассматриваемое как бифунктор, Hom-функтор [img: http://localhost:8080/file/031415-90.jpg] и одноэлементное множество снабжают М. к. структурой замкнутой категории. Всякая категория относительная категория над М. к. Двухэлементное множество снабжает М. к. дополнительной структурой (абстрактного) топоса. Категория [img: http://localhost:8080/file/031415-91.jpg] тогда и только тогда эквивалентна М. к., когда в [img: http://localhost:8080/file/031415-92.jpg] имеется- формально присоединенный левый нуль [img: http://localhost:8080/file/031415-93.jpg], а полная подкатегория [img: http://localhost:8080/file/031415-94.jpg] является категорией с регулярными кообразами с унарным образующим объектом, для каждого объекта Ак-рой существует произведение [img: http://localhost:8080/file/031415-95.jpg] и каждое отношение эквивалентности [img: http://localhost:8080/file/031415-96.jpg] индуцировано ядерной парой [img: http://localhost:8080/file/031415-97.jpg] нек-рого морфизма. Объект Uназ. унарным, если существуют любые копроизведения [img: http://localhost:8080/file/031415-98.jpg] и если всякий морфизм [img: http://localhost:8080/file/031415-99.jpg] представим в виде [img: http://localhost:8080/file/031415-100.jpg] для единственного i. О других характеризациях М. к. см. [2], [3]. Категории, изоморфные подкатегориям М. к., наз. конкретными. О необходимых и достаточных условиях конкретности категории см. [1].